安徽专升本高数讲解第三章微分中值定理与导数应用第一讲.pptVIP

§2. 洛必达 法则 * 定理： * 证： 则 x 0 至多是 f (x), g (x) 的可去间断点 ∴ 设 f (x0) = 0, g (x0) = 0, 那么 f (x), g (x) 在 x0 的某个邻域内连续, 且 除 x0 外 f (x), g (x) 可导， ∴由柯西中值定理 ( 或连续点 )， * 同理, 例题讨论 求下列极限: * 由例3、4 可见，三个函数 a βx , x α , log a x当 x →+ ∞ 时都是无穷大量, 但它们趋于无穷大的快慢程度不同。 以指数函数 a βx 的速度最快， 幂函数 x α 次之， 对数函数 log a x 最慢。 * 极限不存在，则洛必达法则失效， 答： 问题 否 ！ 应改用以前学的方法求极限。 * 0 * 本章重点： 利用导数研究函数以及曲线的性态（如单调性、极值、凹凸性、渐进线等） 微分学中值定理 （罗尔定理、拉格朗日中值定理） 洛必达法则 ——计算不定型极限 利用导数证明不等式 最大最小值问题的应用 * §1. 微分中值定理 * 一、罗尔定理 ( Rolle 1652 — 1719 法国 ) * 几何意义： AB 为 [a , b] 上连续曲线，且除 a, b 两点外都有切线存在，两端点纵标相等， 则在 (a , b) 中至少能找到一点，使这点对应 曲线上的点处的切线平行于 x 轴。 A B x y 0 a b * 例题讨论 例： 验证罗尔定理对函数 f (x) = sin x 在 [ 0,π ] 上的正确性，并求出 ξ 。 二、拉格朗日中值定理 这条件很特殊，若取消这条件，AB 弦就不一定平行于 x 轴，此时结论又如何？ （Lagrange 1736 - 1813 法国） 罗尔定理中： * 几何意义： 拉格朗日中值定理： 若函数 f (x)满足 （1）在 [ a, b ] 上连续， （2）在（a, b）内可导， 则在（a, b）内至少存在一点ξ ，使得： ?而右端正是AB弦的斜率 . ① A B x y O a b ξ1 ξ2 ② 式 ① 可写成: * 在上述条件下，曲线AB上至少有一点 ξ ，使 ( ξ , f (ξ ) ) 处的切线平行于 AB 弦。 显然，罗尔定理 是 L — 定理 的特殊情况 ： A B x y O a b ξ1 ξ2 A B x y O a b ξ1 ξ2 弦 AB 平行于 x 轴。 * 至少存在一点 （2）证： 作辅助函数： ∵ f (x) 在 [a, b] 连续，在（a, b）可导， ∴φ (x) 在 [a, b] 连续，在（a, b）可导， 则由罗尔定理， 得证。 Lagrange中值定理的另一些形式： (1) ③ 说明： 若函数 f (x) 在 [ a, b ] 上连续， 在（a, b）内可导, 则在（a, b）内至少存在一点ξ ，使得 * 设 x, x + △x 为（a, b）内任意两点, ④ 式即称为有限增量公式。由此L — 定理也称为有限增量定理，或微分中值定理。 (2) 则 f (x) 在[ x, x + △x ] 或 [ x + △x, x ]上 仍满足L —定理， 在 ③ 中令： ③ ④ ③ * (原已知常数的的导数为0，现逆命题也成立) 证： 由L — 定理： 由 x1, x2 的任意性， （P. 129） 推论 1： * 推论 2： （说明若两个函数在某一区间内具有相同的导数，则这两个函数仅差一个常数） 若 f (x) , g (x) 在 (a, b) 内成立 则在 (a, b) 内 证： 由推论1: F (x) = C, * 例题讨论 例1： 验证拉格朗日中值定理对 * 四、柯西中值定理 (Cauchy 1789-1857 法国) A B C f(b) f(a) g(a) g(b) g(ξ) 若曲线AB: Y = f (X) 用参数方程表示： Y X o * 与这一事实相应的就是柯西中值定理： A B C Y X f(b) f(a) g(a) g(b) g(ξ) 柯西中值定理：( P.130 ) 若两函数 f (x)，g (x) 满足： (1) 在 [a, b] 上连续； (2) 在（a, b）内可导，且 则在(a, b)内至少存在一点ξ，使得 成立。 说明： 注意：柯西中值定理并不是分子分母分别利用拉格朗日中值定理而得，如这样，则ξ不会是一个ξ，但柯西中值定理中的ξ是同一个ξ。 (1) 当 b a 时定理同样成立，并仍有 (2) 柯西中值定理主要用于证明计算极限的 一个非常重要的法则——洛必达法则。 此时即为