第十二章回归设计.ppt

第十二章 回归设计 12.1 回归设计的基本概念 12.2 一次回归正交设计 12.3 二次回归的中心组合设计 12.4 二次回归正交设计 12.5 二次回归旋转设计 试验点分布的图示为： 二、中心组合设计方案的特点 该方案总试验次数n为： 每个因子（变量）都可取5个水平，故该方案所布的试验点范围较广。 该方案还有较大的灵活性，因为在方案中留有两个待定参数m0（中心点的试验次数）和 （星号点的位置），这给人们留下活动余地，使二次回归设计具有正交性、旋转性等成为可能。 中心点处的m0次重复，使试验误差较为准确估计成为可能，从而使对方程与系数的检验有了可靠依据。 12.4 二次回归正交设计 如果一个设计具有正交性，则数据分析将是十分方便的，又由于所得的回归系数的估计间互不相关，因此删除某些因子时不会影响其它的回归系数的估计，从而很容易写出所有系数为显著的回归方程。 我们可以适当选择m0与 使二次回归中心组合设计具有正交性。 12.4.1 二次中心组合设计的结构矩阵X与系数矩阵 p=2的中心组合设计回归模型的结构式为 结构矩阵如下： x0 x1 x2 x1x2 (x1)2 (x2) 2 这里mc=4，2p=4，则n=mc+2p+m0=8+m0，再记 那么 一般情况下有 其中 ， 表示元素均为1的u维列向量， 表示为行向量， 表示u阶单位阵， 表示u行v列的矩阵，其元素均为1， ，G是p阶对称方阵，其对角元均为 ，非对角元均为mc，即 12.4.2 正交性的实现 要使中心组合设计具有正交性，就要求 为对角阵。 首先利用“中心化”变换使诸平方项列的和为0，为此把列的元素减去该列的均值，即令 从而此时的 阵为： 这里GG是p阶对称方阵： 其中的对角元 为 列元素的平方和，且都相等，记为 ： 非对角元g为 与 （ ）对应元素的乘积和， (12.4.7) 为使设计成为正交的只要设法使g=0。由于在g中mc是给定的，，n=mc+2p+m0，所以在给定了m0后，g只是 的函数： 因此可以适当选取 使g=0 。 对不同的因子个数p与中心点重复次数m0，对应的值见表12.4.1。 表12.4.1 二次回归正交设计的参数 值表 12.4.3 统计分析 1．回归系数的估计 在对 列作了中心化变换后，我们可以首先建立y 关于诸 的回归方程： 现在 为对角阵，从而其逆矩阵十分简单： 再记 ，其中 则 具体计算见表12.4.2。 2．对回归方程与回归系数的检验 由于是正交设计，有诸 的偏回归平方和为 回归平方和为 ， 仍然用 表示总平方和，其自由度为 ，则残差平方和为 ， 其检验可在表12.4.3上进行。 若在中心点上有重复试验的话，还可以进一步对 进行分解： ， 记在中心点上的试验结果为 ，其平均值 ，则 可对二次回归模型的合适性进行检验。 例12.4.1 为提高钻头的寿命，在数控机床上进行试验，考察钻头的寿命与钻头轴向振动频率F及振幅A的关系。在试验中，F与A的变动范围分别为：[125 Hz，375Hz]与[1.5，5.5]，采用二次回归正交组合设计