第三章34解析函数的高阶导数.ppt

* 一、高阶导数定理 分析 则由柯西积分公式有 又 …… 如果函数 在区域 D 内解析，在 上连续， ? * 一、高阶导数定理 定理 如果函数 在区域 D 内解析，在 上连续， 则 的各阶导数均在 D 上解析， 证明 (略) 意义 解析函数的导数仍解析。 应用 推出一些理论结果。 反过来计算积分 且 P71 定理 3.9 重要 * 解 例 计算 解 P73 例3.12 部分 例 计算 * (1) 令 解 例 计算 则 (复合闭路定理) C2 C1 C 2 i - i 如图，作 C1 , C2两个小圆， 记为 * 解 例 计算 C2 C 2 - i C1 i (2) (高阶导数公式) 同样可求得 (3) * 二、柯西不等式 定理 设函数 在 内解析，且 则 (柯西不等式) 证明 函数 在 上解析， 令 即得 P73 定理 3.10 * 三、刘维尔定理 定理 设函数 在全平面上解析且有界，则 为一常数。 设 为平面上任意一点， 证明 函数 在 上解析，且 根据柯西不等式有 令 即得 由 的任意性，知在全平面上有 则 为一常数。 P74 定理3.11 * 证 (反证法) 则函数 在全平面上解析， 设函数 其中， n 为正整数， 例 (代数基本定理) 证明方程 在全平面上 至少有一个根。 假设 在全平面上无根，即 又 故 在全平面上有界， 根据刘维尔定理有 (常数)， (常数)， 与题设矛盾。 * 证 (1) 任取正数 则函数 在 内解析， 由高阶导数公式有 (注意 在 上的性态不知道) 设函数 在 且 证明 例 内解析， * 证 (1) (2) 由 有 设函数 在 且 证明 例 内解析， * 证 (2) (1) (3) 令 得 设函数 在 且 证明 例 内解析， * 证 (1) 由于 在 内解析，根据高阶导数定理可得 在 内， 也解析； (2) 由 可得 在 内， ， 在 内解析； 设函数 在 且 证明 例 内解析， * (3) 根据柯西积分公式有 证 (4) 由 即得 设函数 在 且 证明 例 内解析， 谢谢大家！ 感谢您的观看！