多元函数与隐函数求导.ppt

* 上 下 * 上 下 * 上 下 * 上 下 第七章 多元微分学 空间曲面与曲线 多元复合函数及隐函数求导法则 多元函数的极值和最优化问题 偏微商与全微分 多元函数的基本概念 * 教学目的: 本章重点: 本章难点: 偏导数与全微分的概念，多元复合函 数求导法则，多元函数极值求法. 二元复合函数微分法，多元函数的极 值与求法. * 目的要求 掌握复合函数求偏导法则，隐函数求偏导法则。 重点 复合函数求偏导法则 难点 复合函数求偏导法则 7.4 多元复合函数及隐函数求导法则 * 一、复合函数求导法则 定理 (1) u=?(x,y),v=ψ (x,y)的偏导数在点 (x，y) 处连续; (2) 函数z= f(u,v)的偏导数在(x,y)的对应点 (u,v)处连续. 则复合函数 z= f[?(x,y), ψ(x,y)] 在(x,y)处存在连续的偏导数，且 7.4 多元复合函数及隐函数求导法则 * z=f u v x y x y 链式法则 复合函数求导法则 z= f (u,v) u=u(x,y),v=v(x,y) * 注: 此题可不用链式法则来解 导数 * 幂指函数 注: 此题必须用链式法则来解 导数 * 解： 练习 * * 考研题目 * 几种常见的形式 （1）若z= f(u,v), u=u (x), v= v (x) 只有一个自变量 u v x z= f 则 这时 * (2)若z= f(u), u=u(x,y), u是一个中间变量 z=f u x y * (3)若z=f (u,x,y), u=?(x,y) z=f u x y x y 对于本形式，要注意以下几点： * 注意 这里x, y具有双重身份：既作为自变量，也作为中间变量。 2. 前一个把x看作自变量， 后一个把x看作中间变量。 z=f u x y x y * 例 设z=xy+et, x=sint, y=cost. 求 解 * 例 设u= f(x,y,z),z=sin(x2+y2),求 u=f y x z x y 解 练习 * 例 设z= f(x2-y2,exy),f 有连续偏导数求 z=f u v y x x y 解 * 例 设z= f (x2-y2,exy), f 有连续偏导数求 z=f u v y x x y 解 z=f u v y x x y * 例 解 f u x y v x y _____ , ). ( ) ( 1 2 = ? ? ? + + = x y z f y x y xy f x z 则 具有二阶连续微商， j j 导数, * 例 _____ , ). ( ) ( 1 2 = ? ? ? + + = x y z f y x y xy f x z 则 具有二阶连续微商， j j 导数, * 解法二 例 _____ , ). ( ) ( 1 2 = ? ? ? + + = x y z f y x y xy f x z 则 具有二阶连续微商， j j 导数, * 隐函数微分法(1.二元方程确定的一元隐函数) 设F(x,y)=0确定y是x的可微函数y=y(x),则 F[x,y(x)]?0 ,可知，F通过y是x的函数。 F x y x 二、复合函数微分法的应用 利用复合函数微分法 * 导数 * 练习 * 2. 三元方程确定的二元隐函数 设F(x,y,z)=0确定z是x,y的函数,根据链式法则有 F x y z x y * * * 小节 复合函数求导法则 隐函数求导法则 设F(x,y,z)=0确定z是x,y的函数,根据链式法则有 作业: 5.3节 1, 3(1), 5, 9 * 补充： 关于齐次函数的欧拉定理 欧拉定理： 导数, * 谢谢大家！ 感谢您的观看！ * 上 下 * 上 下 * 上 下 * 上 下