《电动力学》第25讲 §45 格林函数法.ppt

宣讲小论文 翠荣杰 人类是唯一的么？ 焦大伟 磁场山 山东大学物理学院 宗福建 * §2.5 格林（GREEN）函数法 只要知道格林函数G(x’,x)，以及在边界上给定的φ|S值，或者?φ/ ?n | s ，就可以算出区域内的φ(x)，因而边值问题完全解决。 山东大学物理学院 宗福建 * §2.5 格林（GREEN）函数法 2、点电荷密度的δ函数表示 点电荷是电荷分布的极限情况，它可以看作一个体积很小而电荷密度很大的带电小球的极限。若电荷分布于小体积ΔV内，当体积 ΔV→0 时，体积内的电荷密度 ρ→∞ ，而保持总电荷不变，所谓点电荷就是这种电荷分布。 山东大学物理学院 宗福建 * §2.5 格林（GREEN）函数法 2、点电荷密度的δ函数表示 处于 x 点上的单位点电荷的密度用函数δ(x?x’) 表示 山东大学物理学院 宗福建 * §2.5 格林（GREEN）函数法 3、格林函数 一个处于 x’点上的单位点电荷所激发的电势ψ(x)满足泊松方程 设有包含 x’ 点的某空间区域V，在V的边界S上由边界条件 解称为泊松方程在区域V的第一类边值问题的格林函数。 山东大学物理学院 宗福建 * §2.5 格林（GREEN）函数法 3、格林函数 一个处于 x’点上的单位点电荷所激发的电势ψ（x）满足泊松方程 设有包含 x’点的某空间区域V，在V的边界S上满足另一边界条件 解称为泊松方程在区域V的第二类边值问题的格林函数。 山东大学物理学院 宗福建 * §2.5 格林（GREEN）函数法 3、格林函数 格林函数一般用G（x ，x）表示，其中 x 代表源点，即点电荷所在点， x 代表场点。格林函数所满足的微分方程 山东大学物理学院 宗福建 * §2.5 格林（GREEN）函数法 3、格林函数 （1）无界空间的格林函数。 在 x’ 点上一个单位点电荷在无界空间中激发的电势为 式中r为源点 x 到场点x的距离。因此，无界空间的格林函数为 山东大学物理学院 宗福建 * §2.5 格林（GREEN）函数法 3、格林函数 （1）无界空间的格林函数。 选电荷所在点 x’为坐标原点，即 x’ = 0 。在求坐标中，G（x ，0）= 1/4πε0r ，由直接计算得，G为无界空间的格林函数。 山东大学物理学院 宗福建 * §2.5 格林（GREEN）函数法 3、格林函数 （2）上半空间的格林函数 一导体平面上任一点为坐标原点，设点电荷Q所在点的坐标为（x，y，z），场点坐标为（x，y，z），则r为由 x 点到x点的距离，r 为由镜象点 （x，y，?z） 到场点的距离。上半空间格林函数为 山东大学物理学院 宗福建 * §2.5 格林（GREEN）函数法 3、格林函数 山东大学物理学院 宗福建 * §2.5 格林（GREEN）函数法 3、格林函数 （3）球外空间的格林函数。 以球心O为坐标原点。设电荷所在点 P’ 的坐标为 （x’，y’，z’） ，场点P的坐标为（x，y，z）。令 则a对应于R’，b对应于R02/ R’ ，镜象电荷所在点的坐标为 (b/a)x’ = (R02/R’2）x 。 山东大学物理学院 宗福建 * §2.5 格林（GREEN）函数法 3、格林函数 （3）球外空间的格林函数。 山东大学物理学院 宗福建 * §2.5 格林（GREEN）函数法 3、格林函数 式中α为x与x’的夹角。若P点的球坐标为（R,θ,φ）， P’ 点的球坐标为（R’,θ’,φ’），有球外空间格林函数 : 山东大学物理学院 宗福建 * §2.5 格林（GREEN）函数法 4、例 在无穷大导体表面上有半径为a的圆，圆内和圆外用极狭窄的绝缘环绝缘。设圆心电势为V0，导体板其余部分电势为0，求上半空间的电势。 解 以圆心为柱坐标系原点，z轴与平板垂直，R为空间点到z轴的距离。x点的直角坐标为 （R cosφ, R sinφ , z） ，x 点的直角坐标为 （R cosφ, R sinφ , z） ，上半空间格林函数适用柱坐标表出为 山东大学物理学院 宗福建 * §2.5 格林（GREEN）函数法 山东大学物理学院 宗福建 * §2.5 格林（GREEN）函数法 上半空间格林函数适用柱坐标表出为 山东大学物理学院 宗福建 * §2.5 格林（GREEN）函数法 因为在上半空间 ρ = 0 ，因此这问题是拉普拉斯方程第一类边值问题。上半空间的电势为 积分面S是 z = 0的无穷大平面。法线沿 ? z 方向。先计算格林函数的法向导数。 山东大学物理学院 宗福建 * §2.5 格林