高等数学随堂讲解微分中值定理与其应用柯西中值定理与不定式极限.pptxVIP

一、柯西中值定理 柯西中值定理是比拉格朗日定理更一般的中值定理，本节用它来解决求不定式极限的问题. 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 二、不定式极限 *点击以上标题可直接前往对应内容 (i) f (x) , g(x) 在闭区间 [a, b] 上连续; 柯西中值定理 (ii) f (x) , g(x) 在开区间 (a, b) 上可导; 后退 前进 目录 退出 柯西中值定理 柯西中值定理 使得 几何意义 首先将 f , g 这两个函数视为以 x 为参数的方程 它在 O- uv 平面上表示一段曲线. 恰好等于曲线 由拉格朗日定理 的几何意义, 柯西中值定理 端点弦 AB 的斜率: 证 作辅助函数 所以存在点 柯西中值定理 即 例1 设函数 f 在区间 [a, b](a 0) 上连续, 在(a, b) 显然 f (x), g(x) 在 [a, b] 上满足 变形后即得所需的等式. 证 设 柯西中值定理的条件, 柯西中值定理 柯西中值定理 例2 设 f 在区间 (0, 1] 上可导, 得 在极限的四则运算中, 往往遇到分子, 分母均为无 不定式极限 究这类极限, 这种方法统称为洛必达法则. 称为不定式极限. 比较复杂，各种结果均会发生. 穷小量 (无穷大量) 的表达式. 这种表达式的极限 我们将这类极限统 现在我们将用柯西中值定理来研 不定式极限 不定式极限 于是有 证 不定式极限 结论同样成立. 不定式极限 存在性. 不定式极限 这里在用洛必达法则前，使用了等价无穷小量的 代换，其目的就是使得计算更简洁些. 法则. 不定式极限 但若作适当变换, 在计算上会显得更简洁些. 不定式极限 对数求求导法 不定式极限 证 从而有 不定式极限 从而 不定式极限 不定式极限 不定式极限 件要作相应的改变. 不定式极限 解 不定式极限 不定式极限 所以 A = 1. 这就产生了错误的结果. 这说明: 在使用洛必达法 若错误使用洛必达法则： 3. 其他类型的不定式极限 不定式极限 但若采用不同的转化方式: 很明显, 这样下去将越来越复杂, 难以求出结果. 不定式极限 由于 因此 不定式极限 不定式极限 所以，原式 = e0 = 1. 不定式极限 不定式极限 等价无穷小代换 解 不定式极限 证 根据洛必达法则，有 不定式极限 为什么在 时不用洛必达法则？