高教五版高数(经济类)定积分概念与性质随堂讲解.pptVIP

* * 证: 即 7. 设 则 推论2 积分估值定理 * * 证: 例3（补充题）试证: 在区间[0,1]上单调递增， 利用积分估值定理，得 * * 则至少存在一点 使 证: 则由性质7 可得 根据闭区间上连续函数介值定理, 使 因此定理成立. 8. 积分中值定理 * * 可把 故它是有限个数的平均值概念的推广. 积分中值定理对 因 说明: * * 内容小结 1. 定积分定义 —— 乘积和式的极限 2. 定积分的几何意义 3. 定积分存在的2个充分性条件 4. 定积分的7条基本性质 课后练习 习题5-1 * * 思考与练习 1. 用定积分表示下述极限 : 解: 或 * * 如何用定积分表示下述极限 提示: 极限为 0 ! 思考: * * 证明： 故原式得证. 单调递减 * 运行时, 点击按钮“性质7”, 可显示性质7. * * 高等数学多媒体课件 华南农业大学理学院数学系 牛顿（Newton） 莱布尼兹（Leibniz） * * 第五章 定积分及其应用 （Definite Integrals and its Application） 积分学 不定积分 定积分 * * 主 要 内 容 第一节 定积分的概念与性质 第二节 微积分基本公式 第三节 定积分的计算方法 第四节 广义积分 第五节 定积分的应用 第六节 经济应用Ⅴ * * 第一节 定积分的概念与性质 第五章 （Conceptions and Properties of Definite Integrals） 一、引 例 二、 定积分的定义 四、 定积分的性质 三、定积分的几何意义 * * 一、引 例 1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A . 矩形面积 梯形面积 * * 1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 用直线 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 作以 为底 , 为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 解决步骤 : * * 4) 取极限. 令 则曲边梯形面积 3) 近似和. * * 设某物体作直线运动, 且 求在运动时间内物体所经过的路程 s. 解决步骤: 1) 大化小. 将它分成 在每个小段上物体经 2) 常代变. 得 已知速度 n 个小段 过的路程为 2. 变速直线运动的路程 * * 4) 取极限 . 上述两个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同 : “大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限 3) 近似和. * * 二、定积分定义 任一种分法 任取 总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数 在区间 上的定积分, 即 此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 . 记作 * * 积分上限 积分下限 被积函数 被积表达式 积分变量 积分和 定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即 * * 定理1 定理2 且只有有限个间断点 可积的充分条件: 应当指出的是， * * 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值 各部分面积的代数和 定积分的几何意义: * * * * 四、定积分的性质 （设所列定积分都存在） ( k 为常数) 证: = 右端 * * 证: 当 时, 因 在 上可积 , 所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是 * * 则有 当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如 * * 则 证: 推论1 若在 [a , b] 上 则 6. 若在 [a , b] 上 * 运行时, 点击按钮“性质7”, 可显示性质7.