现代控制理论(第二章).pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * 或 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 例2-8：已知系统状态方程中 试求解该系统的单位阶跃响应。 解法二：拉氏变换法 2.4 * 线性时变系统的解 2.4.1 时变系统状态方程解的特点 为了讨论时变系统状态方程的求解方法，现在先讨论一个标量时变系统： 采用分离变量法，将上式写成： 对上式两边积分得： （1） 因此 （2） 或者写成： 仿照定常系统齐次状态方程的求解公式，式(2)中的 也可以表示为状态转移矩阵，不过这时状态转移矩阵不仅是时间t 的函数， 而且也是初始时刻t。的函数。故采用符号 来表示这个二元函数： （3） 于是式(2)可写成： （4） 能否将式(3)这个关系式也推广到矢量方程： 遗憾的是，只有当 满足乘法可交换条件，上述关系才能成立。现证明如下： 使之有 （5） 如果 是齐次方程的解，那么 必须满足： （6） 把 展开成幂级数： 上式两边对时间取导数： (7) (8) (9) 把式(7)两边左乘 有： 比较式(8)和式(9)，可以看出，要使 成立，其必要和充分条件是： （10） 即 是乘法可交换的。但是，这个条件是很苛刻的 一般是不成立的。从而时变系统的自由解，通常不能像定常系统那样写 成一个封闭形式。 2.4.2 线性时变齐次矩阵微分方程的解 尽管线性时变系统的自由解不能像定常系统那样写成一个封闭的解 析形式，但仍然能表示为状态转移的形式。对于齐次矩阵微方程： （11） 其解为： （12） 式中， 类似于前述线性定常系统中的 ，它 也是 非奇异方阵，并满足如下的矩阵微分方程和初始条件： （13） （14） 证明 将解式(12)代入式(11)，有 即 又在解式(12)中令 ，有： 即 这就证明了，满足式(13)、式(14)的 ,按式(12)所求得的 是齐次微分方程(11)的解。 2.4.3 状态转移矩阵 基本性质 与线性定常系统的转移矩阵类似，同样有： 因为： 且 故式(15)成立。 2） ，见式（14）。 （15） 1） 3） （16） 因为从式(14)和式(15)可得： 或 那么无论右乘 ，或左乘 ，式(16)都成立，故 是非奇异阵，其逆存在，且等于 。 4） 见式（13）。 在这里， 一般是不能交换的。 2.4.4 线性时变系统非齐次状态方程式的解 线性时变系统的非齐次状态方程为： 且 的元素在时间区间 内分段连续，则其解为： （17） （18） 证明 线性系统满足叠加原理，故可将式(17)的解看成由初始状态 的转移和控制作用激励的状态 的转移两部分组成。即 （19） 代入式(17)，有： 即 可知： 在t。～t区间积分，有： 于是 在式(19)中令 ，并注意到中 ，可知 ，这样由上式即可得到式(18)。 2.4.5 状态转移矩阵的计算 因为 A 是常数矩阵，所以上式直接表示为： 在定常系统中，齐次状态方程 的解是： 式中， ，只与 有关。 在时变系统中，齐次状态方程 的解，一般的表示为： 前已证明，只有当 是可交换时，即 （20） 才有： 在一般情况下