平面向量的数量积与运算律.pptVIP

物理中功的概念 θ s F 一个物体在力F 的作用下产生位移s，那么力F 所做的功应当怎样计算？ 其中力F 和位移s 是向量，功是数量. 是F的方向 与s的方向 的夹角。 新课引入 先看一个概念-----向量的夹角 O A B a b O A B b a 当 ， O A B b a 当 ， O A B a b 当 ， 记作 已知 a 与b 同向； a 与b 反向； a 与b 垂直. 练习一： 在 中，找出下列向量的夹角： A B C (1) (2) (3) 平面向量的数量积的定义 （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定. （3） 在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是 [ 0°，180°]． （2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，它与 数的乘法是有区别的， a · b不能写成 a×b 或 ab . 说明： 例题1：求下列向量的内积 平面向量数量积的性质： （1）e · a=a · e=| a | cos? （2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向 时， a · b = -| a | · | b | ． 特别地 ( a // b a · b=±|a| · |b| ) 数量积的运算律：　　 ⑴交换律： ⑵对数乘的结合律： ⑶分配律： （1） 解：由题意　　　 练习二： （1）在四边形ABCD中，AB · BC=0，且AB=DC 则四边形ABCD是（ ） A 梯形 B 菱形 C 矩形 D 正方形 （3）在 中，已知|AB|=|AC|=1，且 AB · AC= ，则这个三角形的形状是 C ±1 等边三角形 （2）已知向量 a , b 共线，且 |a| =2|b| 则a与b间的夹角的余弦值是 。 总结提炼 1、向量的数量积的物理模型是力的做功； 4、两向量的夹角范围是 5、掌握五条重要性质： 平面向量的数量积的几何意义是: a 的长度 |a| 与 b 在 a 的方向 上的数量 |b|cos 的乘积 2、a · b的结果是一个实数，它是标量不是向量。 3、利用 a · b= |a| · |b|cos 可求两向量的夹角， 尤其 是判定垂直。 演练反馈 × × √ 判断下列各题是否正确： （2）、若 ， ，则 （3）、若 ， ，则 (1)、若 ，则任一向量 ，有 （4）、 × A B C 1 A B 1 O 在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，向量中是否也有 ? 为什么? 答：没有. 因为右端是与 共线的向量，而左端是与 共线的向量，但一般 与 不共线． 所以，向量的数量积不满足结合律． 所以，向量的数量积不满足消去律． 在实数中，若a?b = a?c且a 0，则b = c向量中是否也有“若 ，则 ”成立呢 ? 为什么? O A B C 　 例3 已知| | = 6，| | = 4， 与 的夹角为60?，求： 解：(1) = ? 72. 1. 小结： 2. 向量运算不能照搬实数运算律，交换律、数乘结合律、分配率成立； 向量结合律、消去律不成立。 3. 向量的主要应用是解决长度和夹角问题。 运用平面向量的坐标求内积 探究：设　　　　　，　　　　，， 分别为x轴和y轴 正方向上的单位向量。 １ １ ０ 1 1 平面向量内积的坐标表示 即：两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积之和. 探究：利用坐标公式验证向量的模 例题３：求下列向量的内积 解：（１） 例题2：已知 ，求： （1） （2） 向量夹角的计算公式 例题3：已知 ，求　　，　　， ， 解： 例５　判断下列各组向量是否相互垂直： 解： 解：