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全国高中数学联赛加试平面几何汇编 篇一：1990-2011全国高中数学联赛加试平面几何汇编 1990年 第二试 (10月14日上午10∶30—12∶30) 一．(本题满分35分) 四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4．求证OP、O1O3、O2O4三直线共点． 证明 ∵O为⊿ABC的外心，∴ OA=OB． ∵ O1为⊿PAB的外心，∴O1A=O1B． E 1∴ OO1⊥AB． D 作⊿PCD的外接圆⊙O3，延长PO3与所作圆交于点E，并与AB O3交于点F，连DE，则?1=?2=?3，?EPD=?BPF， ∴ ?PFB=?EDP=90?． O4 ∴ PO3⊥AB，即OO1∥PO3． 同理，OO3∥PO1．即OO1PO3是平行四边形． O ∴ O1O3与PO互相平分，即O1O3过PO的中点． 同理，O2O4过PO中点． OA∴ OP、O1O3、O2O4三直线共点． F O3 O O 2 O O A F B C O2 3 B 1991年 二．设凸四边形ABCD的面积为1，求证：在它的边上(包括顶点)或内部可以找出四个1 点，使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于． 4 证明：考虑四边形的四个顶点A、B、C、D，若△ABC、△BCD、△CDA、△DAB的面积，设其中面积最小的三角形为△ABD． 1 ⑴ 若S△ABDA、B、C、D即为所求． 4 13 ⑵ 若S△ABDlt;S△BCD，取△BCD的重心G，则以B、C、D、G这4点中的任意 441 3点为顶点的三角形面积． 4 11 ⑶ 若S△ABD= S△ABD=． 4413 由于S△ABC+S△ACD=1，而S△ACD，故S△ABClt;=S△BCD． 44∴ 过A作AE∥BC必与CD相交，设交点为E． BC 111 则∵ S△ABCS△ABD，从而S△ABES△ABD=．S△ACE=S△ABES△BCE=S△ABC．即A、B、 444C、E四点即为所求． 11 ⑷ 若S△ABD==，这个三角形不 4411 可能是△BCD，(否则ABCD的面积=，不妨设S△ADC= S△ABD=．则AD∥ 24BC，四边形ABCD为梯形． 13 由于S△ABD=，S△ABC=AD=a，则BC=3a，设梯形的高=h， 44 B 3a AE a F C 则2ah=1．设对角线交于O，过O作EF∥BC分别交AB、CD于E、F． ∴ AE∶EB=AO∶OC=AD∶BC=1∶3． a·3+3a ∴ EF=A．S△EFB=S△EFC=h= 1+3222416324 13991 S△EBC=S△FBC=·3aah=．于是B、C、F、E四点为所求．综上可知所 248162证成立． 又证：当ABCD为平行四边形时，A、B、C、D四点即为所求． 当ABCD不是平行四边形，则至少有一组对边的延长线必相交，设延长AD、BC交于E，且设D与AB的距离lt;C与AB的距离， 1 ⑴ 若ED≤AE，取AE中点P，则P在线段AD上，作PQ∥AB交BC于Q．若 2333 PQ=a，P与AB距离=h．则AB=2a，SABQP=ABEABCD=． 444 131 即a+2a)h，ah 242 1111 ∴ S△APQ=S△BPQ=．S△PAB=S△QAB=ah．即A、B、Q、P为所求． 24241 ⑵ 若EDAE，取AE中点P，则P在线段DE上，作PR∥BC交CD于R， 2 NAE D CQ A B EFCQSB AN∥BC，交CD于N，由于∠EAB+∠EBAlt;π，故R在线段CD上．N在DC延长线上．作1 RS∥AB，交BC于S，则RS=AB，延长AR交BC于F，则S△FAB=SABCNSABCD=1．问题化 2为上一种情况． 1992年 四、(20分)设l，m是两条异面直线，在l上有A，B，C三点，且AB=BC，过A，B，C分 7 别作m的垂线AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F，已知AD=15，BE=10，求l 2与m的距离． 解：过m作平面α∥l，作AP⊥α于P，AP与l确定平面β，β∩α=l?，l?∩m=K． 作BQ⊥α，CR⊥α，垂足为Q、R，则Q、R∈l?，且AP=BQ=CR=l与m的距离d． ? 连PD、QE、RF，则由三垂线定理之逆，知PD、QE、RF都⊥m． PD=15－d，QE= 492 d，RF=10－d． 4 l#39; m KF 当D、E、F在K同侧时2QE=PD+RF，