格林函数法课件.pptx

第五章 格林函数法;主要内容; 格林函数又称为点源影响函数，代表一个点源在一定边界条件和初始条件下所产生的场，知道了点源的场，就可以用叠加的方法计算出任意源所产生的场。 格林函数法不仅限于解稳态的边值问题，而且也用来解非稳态的边值问题或混合问题，还广泛用于解各类非齐次定解问题。 ;5.1 格林公式;（5.1.3）;5.2 泊松方程的格林函数法;典型的泊松方程（三维稳态分布）边值问题;;那么该点电荷（或热源）在物体内产生电视分布（或稳定温度分布），这就是定解问题的解—格林函数。 引入格林函数的目的： 1、解的形式便于理论分析和研究; 2、以同一的形式研究各类定解问题； 3、对于线性问题，格林函数一但求出，就可以算出任意源的场，关键是求格林函数。; 因为格林函数G(r,r0)代表r0处的点源在r处所产生的影响（或产生的场），所以它只能是距离|r-r0|的函数，它应该遵守如下的互易定理：;根据第二格林公式，得到：;故; 现在还不能直接利用泊松方程基本积分公式来解决边值问题。我们引入格林函数，目的是把一个非齐次方程与任意边值问题所构成的定解问题转换为求解一个特定的边值问题。讨论格林函数所满足的边界条件： （1）第一类边值问题;由泊松方程的基本积分公式（5.2.8），可得;（5.2.14）;（5.2.16）;相应的格林函数是下列问题的解;（5.2.19）; 互易后第一类和第三类边值问题的物理意义：第一个积分表示区域T中分布的源f(r0)在r处产生的场的总和：第二个积分代表边界上的状况对r点场的影响总和。两项积分中的格林函数相同，说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下产生的场。 特别的对与拉普拉斯方程f(r0)=0恒成立。令式（5.2.13）和（5.2.20）中的体积分为0，便得到拉普拉斯的第一类和第三类边值问题的解。;5.3 用电像法求格林函数;具体做如下讨论：;根据矢量高斯定理可得;当r→∞时，G→0，因此c=0，故得到;2、二维球对称情形 只需用单位长的圆柱体来代替球积分区域。由于圆柱体上下底的面积分为，只剩下沿侧面的积分，则;代入（5.3.1）得到二维无界区域的解为; 5.3.2 用电像法求格林函数; 根据静电学知识，为了满足边界条件电势为零，还得在边界外的像点（或对称点）放置一个合适的负电荷，这样才能使这两个电荷在界面上产生的电势之和为零。 这种基于静电学的镜像原理来构建格林函数的方法称为电像法。下面以典型情况来具体说明格林函数的构建。;1、上半平面区域第一边值问题的格林函数构建 构建物理模型：若M0（x0，,y0）处放置一正单位电荷，根据电像法，设负单位点电荷应该在M1（x0，-y0）处。于是可得到这两点电荷在xOy的上半平面的分布，即本问题的格林函数;（5.3.12）;解： 根据第一边值问题构建的格林函数满足;代入第一边值问题解的公式，且拉普拉斯方程f=0，则; 同样的方法可得泊松方程在半平面区域第一边值问题解; 设在M0的对称点M1（ x0，y0，-z0 ）处放置电量-ε0的点电荷，在平面为z=0处满足电势为零的条件。因此得到得到对应的定解问题和格林函数满足的定解问题。 例2 在上半空间z＞0内求解拉普拉斯方程的第一边值问题。;解：构建格林函数满足;代入拉普拉斯方程的第一边值问题解公式得到;3、圆形区域第一边值问题的格林函数构建 物理模型：在圆内任选一点M0（ρ0），放置一个正线单位电荷，在圆外点M1（b）处放置一虚设线电荷，其线密度为λ，则这两线电荷在圆内任意观察点P（ρ）处产生的电势为：; 当观察点P位于圆周上时，应该有u=0，满足第一类齐次边值条件，即;对任意θ都成立，则λ，b必须满足下列方程;4、球形区域第一边值问题的格林函数构建 物理模型：在球内点M0（r0）处放置一个单位正电荷，在球外点M1（b）处放置一虚设电荷q。这两个电荷在球内任一点P（r）处产生的电势可计算为 ; 当观察点位于球面上时，要求满足u=0，同圆形区域类似的，可确定q和b;;代入到解的公式内，可以得到球内泊松方程的第一边值问题的解为;5.4 用冲量定理法求格林函数; （5.4.1）; 把单位脉冲点力所引起的振动记G(r,t;r0,t0),称为波动问题的格林函数,求得G,就可用叠加的方法求出任意力f(r,t)所引起的振动,而G满足的定解问题是 ; 注意含时间的格林函数的对称性不同于泊松方程格林函数的对称性，; 用G（r，t，r0，t0）乘以（5.4.1）的变换式，以u（r0，t0）乘以方程（5.4.6），相减后再对r0在T区域积分，同时对t0在[0,t+ε]上积分，利用格林第二公式及初始条