曲率和挠率对空间曲线形状的影响.doc

PAGE PAGE 26 . .. 曲率和挠率对空间曲线形状的影响 摘 要：曲率和挠率是空间曲线的特性，不同的曲率和挠率函数决定不同形状的曲线，研究常曲率和挠率的空间曲线有特别重要的意义。本文对曲率和挠率的形成及意义进行了探讨，并对常曲率和挠率的空间曲线进行了一定的研究．给出了常曲率和挠率的空间曲线特性. 关键词：曲率 挠率 空间曲线形状 我们知道，空间曲线的形状完全由曲率和挠率决定.而当一个空间曲线的曲率或挠率为常数时，这种曲线具有很强的特性，对这种曲线的特性的研究有利于对空间曲线这部分内容的掌握和理解. 一 曲率的概念和几何意义 1曲率的概念 我们首先研究空间曲线的曲率的概念。在不同的曲线或者同一条曲线的不同点处，曲线弯曲的程度可能不同。例如半径较大的圆弯曲程度较小，而半径较小的圆弯曲程度较大（图1-1）又如图1-2中所示，当沿着曲线从左向右移动时，曲线弯曲的程度变大。为了准确地刻画曲线的弯曲程度，我们引进曲率的概念。 pQ p Q x y 图1-1 图1-2 要从直观的基础上引出曲率的确切的定义，我们首先注意到，曲线弯曲的程度越大，则从点到点变动时，其切向量的方向改变得越快。所以作为曲线在已知线段PQ的平均弯曲程度可取为曲线在P,Q间切向量关于弧长的平均旋转角。 设空间中类曲线（c）的方程为 曲线（C）上一点P，其自然参数为S,另一 邻近点，其自然参数为。在p, 两点各作曲线（c）的单位切向量和。两个切向量间的夹角是（图1-3），也就是把点的切向量平移到点P后，两个向量和的夹角为。 （C） （C） 图1-3 定义 空间曲线（C）在P点的 曲率为 ， 其中为P点及其邻近点间的弧长，为曲线在点P和的的切向量的夹角。 2曲率的几何意义 利用“一个单位变向量（即）的微商的模的几何意义是对于t的旋转速度”。把这个结果应用到空间曲线（C）的切向量上去，则有 。 由于=，所以曲率也可表示为 。 由上述空间曲线的曲率的定义可以看出，它的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。当曲线在一点的弯曲程度越大，因此曲率刻画了曲线的弯曲程度。 二.挠率的概念和几何意义 1挠率的几何意义 对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转（离开密切平面），所以研究空间曲线只有曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转的程度的量——挠率。当曲线扭转时，副法向量（或密切平面）的位置随着改变（如图1-4），所以我们用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度（在一点离开密切平面的程度）。 （C） （C） 图1-4 现在设曲线（C）上一点P的自然参数为s，另一邻近点的自然参数为，在p, 两点各作曲线（c）副法向量和。此两个副法向量的夹角 我们得到 ， 此式的几何意义是它的数值为曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度。当曲线在 一点的扭转程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大），副法向量（或密切平面）对于弧长的扭转程度就越大。因此，我们可以用它来刻画曲线的扭转程度。 2挠率的定义 根据和曲率的定义，我们有 ， 即。 对求微商，有 ， 因而 。 又因为是单位向量，所以 。 由以上两个关系可以推出 // 现在我们给出挠率的定义如下： 定义曲线（C）在P点的挠率为 挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度。 三. 曲率和 挠率对空间曲线形状的影响 1空间曲线形状完全由曲率和挠率决定 证明 在 类曲线上取一点，在它邻近在取一点（图1-5）利用泰勒公式有 ， 其中 图1-5 由于 所以 其中，而等表示在点的值 由上式可得 如果在的每一个分量中只取第一项，则有 现在取为新坐标系，并取为计算弧长的始点，则有。如果为曲线上的临近点的新坐标，则有 它可以看作在点邻近，曲线的近似方程。由此看出，曲线在某点的曲率和挠率完全决定了曲线在该点邻近的近似形状。即空间曲线的形状完全由曲率和挠率决定。 2曲率和挠率的取值对空间曲线形状的影响 由曲率挠率的定义和几何意义可知，曲率刻画了曲线的弯曲程度，曲率越大，曲线在某一点的弯曲程度就越大，反之亦然。挠率刻画了曲线的扭转程度，挠率的绝对值越大，曲线在某点的扭转程度越大（离开所讨论点的密切平面的程度越大）. 上面只讨论了挠率的绝对值对空间曲线的影响，没有讨论挠率的正负对空间曲线的影响。下面就接着讨论挠率的正负对空间曲线的影响。 在基本三棱形的三个平面上的投影来观察曲线在一点邻近的形状，来研究挠率的正负对空间曲线的影响。 近似曲线在法平面上的投影是 消去参数s后有 它是半立方抛物线