圆锥曲线最值问题.docVIP

. PAGE .. 高考中圆锥曲线最值问题求解方法 圆锥曲线最值问题是高考中的一类常见问题，体现了圆锥曲线与三角、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识之间的横向联系。解此类问题与解代数中的最值问题方法类似，。由于圆锥曲线的最值问题与曲线有关，所以利用曲线性质求解是其特有的方法。下面介绍几种常见求解方法。主要类型：（1）两条线段最值问题。（2）圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值。（3）圆锥曲线上点到轴（轴）上某定点的距离的最值。（4）求几何图形面积的最值等。 定义法 根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等，这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。有些问题先利用圆锥曲线定义或性质给出关系式，再利用几何或代数法求最值，可使题目中数量关系更直观，解法更简捷。 例1、已知抛物线 ，定点A(3,1)，F 是抛物线的焦点 ，在抛物线上求一点 P,使|AP|+|PF|取最小值 ，并求的最小值 。 分析：由点A引准线的垂线，垂足Q，则 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即为最小值。 OF(1,0) xA(3,1)y Q P解： 如图，, 焦点F(1,0) 。 由点A引准线x= -1的垂线 ，垂足Q，则 |AP|+|PF|=|AP|+|PQ|, 即为最小值 O F(1,0) x A(3,1) y Q P 由, 得 为所求点. 若另取一点 ， 显然 。 [点悟] 利用圆锥曲线性质求最值是一种特殊方法。在利用时技巧性较强，但可以避繁就简，化难为易。又如已知圆锥曲线内一点A与其上一动点P，求 的最值时，常考虑圆锥曲线第二定义。 例2、已知点F是双曲线 的左焦点，定点A（1，4），P是双曲线右支上动点，则 的最小值为___________. 解： 例3、已知椭圆的右焦点F，且有定点，又点是椭圆上一动点。问 是否有最值，若有，求出最值并指出点的坐标 例4、已知点为抛物线上的点，那么点到点的距离与点到抛物线焦点的距离之和的最小值为 _ __，此时点坐标为 _. 参数法 利用椭圆、双曲线参数方程转化为三角函数问题，或利用直线、抛物线参数方程转化为函数问题求解。 例1、椭圆的切线 与两坐标轴分别交于两点 ， 求三角形的最小面积 。 分析；写出椭圆参数方程，设切点为，可得切线方程。 解： 设切点为 ， 则切线方程为 . 令y=0, 得切线与x轴交点；令，得切线与y轴交点 = [点悟] 利用圆锥曲线参数方程转化为求三角函数的最值问题，再利用三角函数的有界性得出结果。 三 、二次函数法 函数法就是把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数，通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法.（关键：建立函数关系式，注意变量的定义域）。 例1、过动直线与定直线的交点（其中）的等轴双曲线系中 ， 当为何值时，达到最大值与最小值？ 分析：求出交点坐标代入双曲线,可得的二次函数表达式，再利用函数方法求解。 解：由 , 得 交点,将交点坐标代入双曲线, = = =. 当 , ,又 ,； 当p=3a时, [点悟] 把所求的最值表示为函数，再寻求函数在给定区间上的最值，但要注意函数的定义域。 例2、点分别是椭圆的长轴的左右端点，F为右焦点，在椭圆上，位于轴的上方，且若为椭圆长轴上一点，到直线的距离等于.求椭圆上点到点的距离的最小值. 分析：把所求距离表示为椭圆上点的横坐标的函数，然后求这个函数的最小值。 解：由已知可得点、,设点，则 由（1）（2）及得 ∴的方程为 设，则点到直线AP的距离 设椭圆上点到距离为则 四 、几何法 将圆锥曲线问题转化为平面几何问题，再利用平面几何知识，如对称点、三角形三边关系、平行间距离（切线法：当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值时，可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点。）等求解。 例1、 已知椭圆 和直线 ，在l上取一点 ，经过点且以椭圆的焦点为焦点作椭圆 ，求在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程 。 分析；设是关于l对称点，可求出坐标，过的直线方程与 联立得交点M为所求。 y lP O xM解 ：由椭圆方程 ，得， 设 是关于l对称点 ， 可求出 坐标为(-9,6) ， 过的直线方程:x+2y-3=