选修2-2 导数及其应用 典型例题.docVIP

. .. 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 【知识点归纳】 1.平均变化率： 2.瞬时速度： 3.导数及导函数的概念： 4.导数的几何意义： 拓展知识： 5.平均变化率的几何意义： 6.导数与切线的关系： 【典型例题】 题型一 求平均变化率： 例1.已知函数的图像上一点（1,1）及其邻近一点，则=_______. 变式训练： 1.以速度竖直向上抛出一物体，t秒时的高度为，求物体在到这段时间的平均速度. 2.求正弦函数在和附近的平均变化率，并比较他们的大小. 题型二 实际问题中的瞬时速度 例 2 已知质点M按规律做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s） （1）当时，求；（2）当时，求； （3）求质点M在t=2时的瞬时速度. 题型三 求函数的导数及导函数的值 例 3求函数在处的导数. 题型四 曲线的切线问题 例 4 （1）已知曲线上一点A（1，2），求点A处的切线方程. （2）求过点（-1，-2）且与曲线想切的直线方程. （3）求曲线在x=1处的切线的倾斜角. （4）曲线在点P处的切线斜率为3，求点P的坐标. 1.2 导数的计算 【知识点归纳】 1.常见函数的导数： 2.基本初等函数的导数公式： 3.导数的运算法则： 4.复合函数的导数： 【典型例题】 题型 一 基本初等函数导数公式运用 例1 给出下列结论： ①；②若，则；③若，则；④.若，则 其中正确的是_________________. 题型 二 导数运算法则的应用 例 2 求下列函数的导数： （1）；（2）；（3）；（4）. 变式训练：判断下面的求导是否正确，如果不正确，加以改正. 题型 三 复合函数求导的应用 例 7 求下列函数的导数. （1）；（2）. 变式训练：求函数的导数 题型 四 切线方程及应用 例4 曲线在点（0，1）处的切线方程是？ 变式训练：曲线在P处的切线平行于直线，则点P的坐标为_________. 题型 五 利用导数求参数问题 例5 若曲线在坐标原点处的切线方程是，则实数a=_________ 变式训练：若函数在x=a处的导数值为函数值互为相反数，求a的值 题型 六 对数求导数的应用（选讲） 例6 求下列函数的导数 （1）； （2）； 题型 七 求导数的实际应用 例7 有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离 s （单位：m）关于时间 t （单位s）的函数为.求函数在时的导数，并解释它的实际意义. 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数 【知识点归纳】 1.函数的单调性与其导数的关系： 2.利用导数求函数的单调区间： 3.导数的绝对值的大小与图像的关系（选讲）： 【典型例题】 题型 一 里用导数的信息确定函数大致图像 例1 已知导函数的下列信息： 当时，； 当或时，； 当或时，； 试画出函数f（x）图像的大致形状. 题型 二 判断或者证明函数的单调性 例2 试判断函数在其定义域上的单调性. 变式训练：证明：函数在区间（0，2）上是单调递增函数. 题型 三 求函数的单调性 例3 确定函数的单调区间. 变式训练：求函数的单调性. 题型 四 含有参数的函数的单调性 例4 已知函数，讨论f（x）的单调性. 变式训练：已知函数在内单调递增，求实数a的取值范围. 1.3.2 导数的极值与导数 【知识点归纳】 1.导数的极值的概念： 2.导数的极值的判断和求法： 【典型例题】 题型 一 求函数的极值 例1 求下列函数的极值： （1）； （2）. 变式训练：设的导数满足，其中常数. （1）求曲线在点处的切线方程. （2）设，求函数的极值. 题型 二 判断函数极值点的情况 例2 判断下列函数有无极值，若有极值，请求出极值；如果没有极值，请说明理由. （1）； （2）； （3）. 变式训练：设函数，其中.证明：当时，函数f（x）没有极值点，当时,函数f（x）有且只有一个极值点，并求出极值. 题型 三导函数的图像与函数极值的关系 例3 函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（　　） A 1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型 四 极值的逆向问题 例4 已知函数在x=1处取得极值-3-c，其中a，b为常数. （1）试确定a，b的值. （2）讨论函数f（x）的单调区间. 综上： 若说明函数没有极值，一般不讨论有无导数，而是在区间上只有一个单调性，没有“拐点”. 1.3.3 函数的最大小值与导数 【知识点归纳】 1.最大小值与极值的关系： 2.求最大小值的步骤： 3.开区间的最值问题