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2013 年第30 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题及答案解析 2013年第30届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题及答案解析 无锡市第一中学魏熙锴 R 一、 （15分）一半径为 、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上. v 0 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为v0 ( v0 ≠0 ). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速度大小为g . 参考解答： 以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒. 滑块沿半球面内侧运 O v θ 动时，可将其速度v 分解成纬线切向 (水平方向)分量 及经线切向分量 . v ϕ θ P ，在某中间状态时，滑块位于半球面内侧 处， 和球心 设滑块质量为 P P O 的连线与水平方向的夹角为 . 由机械能守恒得 θ 1 2 1 2 1 2 mv0 =−mgR sinθ+ mvϕ + mvθ (1) 2 2 2 这里已取球心 处为重力势能零点. 以过 的竖直线为轴. 球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为 O O 零；重力相对于该轴的力矩也为零. 所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故 mv R mv R cosθ. (2) 0 ϕ 由(1) 式，最大速率应与θ 的最大值相对应 v v(θ ) . (3) max max 而由(2) 式， 不可能达到 . 由(1)和(2)式， 的最大值应与vθ 0 相对应，即 v (θ ) 0 . (4) θ max [ (4)式也可用下述方法得到：由(1)、(2) 式得