历年中考数学分类汇编—圆.docVIP

PAGE PAGE 1 2014年中考数学分类汇编——与圆有关地压轴题 2014年与圆有关地压轴题,考点涉及：垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形地性质；切线性质；锐角三角函数 HYPERLINK 定义；特殊角地三角函数值；相似三角形地判定和性质；勾股定理；特殊四边形性质；等.数学思想涉及：数形结合；分类讨论；化归；方程.现选取部分省市地2014年中考题展示,以飨读者. 【题1】（2014年江苏南京,26题）如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm,⊙O为△ABC地内切圆． （1）求⊙O地半径； （2）点P从点B沿边BA向点A以1cm/s地速度匀速运动,以P为圆心,PB长为半径作圆,设点P运动地时间为t s,若⊙P与⊙O相切,求t地值． 【分析】：（1）求圆地半径,因为相切,我们通常连接切点和圆心,设出半径,再利用圆地性质和直角三角形性质表示其中关系,得到方程,求解即得半径． （2）考虑两圆相切,且一圆已固定,一般就有两种情形,外切与内切．所以我们要分别讨论,当外切时,圆心距等于两圆半径地和；当内切时,圆心距等于大圆与小圆半径地差．分别作垂线构造直角三角形,类似（1）通过表示边长之间地关系列方程,易得t地值． 【解】：（1）如图1,设⊙O与AB.BC.CA地切点分别为D.E.F,连接OD.OE.OF,则AD=AF,BD=BE,CE=CF． ∵⊙O为△ABC地内切圆, ∴OF⊥AC,OE⊥BC,即∠OFC=∠OEC=90°． ∵∠C=90°, ∴四边形CEOF是矩形, ∵OE=OF, ∴四边形CEOF是正方形． 设⊙O地半径为rcm,则FC=EC=OE=rcm, 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm, ∴AB==5cm． ∵AD=AF=AC﹣FC=4﹣r,BD=BE=BC﹣EC=3﹣r, ∴4﹣r+3﹣r=5, 解得 r=1,即⊙O地半径为1cm． （2）如图2,过点P作PG⊥BC,垂直为G． ∵∠PGB=∠C=90°,∴PG∥AC． ∴△PBG∽△ABC,∴．∵BP=t, ∴PG=,BG=． 若⊙P与⊙O相切,则可分为两种情况,⊙P与⊙O外切,⊙P与⊙O内切． ①当⊙P与⊙O外切时, 如图3,连接OP,则OP=1+t,过点P作PH⊥OE,垂足为H． ∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°, ∴四边形PHEG是矩形, ∴HE=PG,PH=CE, ∴OH=OE﹣HE=1﹣,PH=GE=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣． 在Rt△OPH中, 由勾股定理,, 解得 t=． ②当⊙P与⊙O内切时, 如图4,连接OP,则OP=t﹣1,过点O作OM⊥PG,垂足为M． ∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°, ∴四边形OEGM是矩形, ∴MG=OE,OM=EG, ∴PM=PG﹣MG=,OM=EG=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣=2﹣, 在Rt△OPM中, 由勾股定理,,解得 t=2． 综上所述,⊙P与⊙O相切时,t=s或t=2s． 【点评】：本题考查了圆地性质.两圆相切及通过设边长,表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点,总体题目难度不高,是一道非常值得练习地题目． 【题2】（2014?泸州24题）如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O地直径,AC和BD相交于点E,且DC2=CE?CA． （1）求证：BC=CD； （2）分别延长AB,DC交于点P,过点A作AF⊥CD交CD地延长线于点F,若PB=OB,CD=,求DF地长． 【考点】： 相似三角形地判定与性质；勾股定理；圆周角定理． 【分析】： （1）求出△CDE∽△CAD,∠CDB=∠DBC得出结论． （2）连接OC,先证AD∥OC,由平行线分线段成比例性质定理求得PC=,再由割线定理PC?PD=PB?PA求得半径为4,根据勾股定理求得AC=,再证明△AFD∽△ACB,得,则可设FD=x,AF=,在Rt△AFP中,求得DF=． 【解答】： （1）证明：∵DC2=CE?CA, ∴=, △CDE∽△CAD, ∴∠CDB=∠DBC, ∵四边形ABCD内接于⊙O, ∴BC=CD； （2）解：如图,连接OC, ∵BC=CD, ∴∠DAC=∠CAB, 又∵AO=CO, ∴∠CAB=∠ACO, ∴∠DAC=∠ACO, ∴AD∥OC, ∴=, ∵PB=OB,CD=, ∴= ∴PC=4 又∵PC?PD=PB?PA ∴PA=4也就是半径OB=4, 在RT△ACB中, AC===2, ∵AB是直径, ∴∠ADB=∠ACB=90° ∴∠FDA+∠BDC=90° ∠CBA+∠CAB=90° ∵∠BDC=∠CAB ∴∠FDA=∠CBA 又∵∠AFD=∠ACB=90° ∴△AFD∽△ACB ∴ 在Rt△AFP中,设FD=x,则AF=, ∴在RT△APF