第一讲向量分析与场论2.pdf

第二讲：向量分析与场论 II） 四、标量场的梯度 3、标量函数场的梯度公式：若某一标量场的函数关系已经确定，为V=T(x,y,z)， 那么如何确定标量场在域中任意点的梯度？（假设该点坐标为P(x, y,z) ） 在P(x, y,z)点附近任意点P(x ,y ,z ) 的标量场为V(x ,y ,z )，则两点标量场值差 可由泰勒展开为： V V(x ,y ,z ) V(x,y,z) V(x,y,z) V(x,y,z) V(x,y,z) (x x) (y y) (z z) x y z V V x y z V x y z ( , , ) ( , , ) V x y z V x y z V x y z ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y z x y z V x y z V x y z V x y z ( , , ) ( , , ) ( , , ) i j ( k) ( xi yj zk) x y z (2.1) V x y z V x y z V x y z ( , , ) ( , , ) ( , , ) i j k ( ) ( l ) x y z 为简明起见，令Dx = x - x 、Dy = y - y 、Dz= z - z 则上式又可以写为 这里，l = Dx i +Dyj +Dz k 为P(x , y , z )与P(x, y, z)两点之间的位移，定义一 个向量算子‘ ’ i j k (2.2) x y z 以算子‘ ’对标量场V(x, y, z)的作用结果为一向量，该向量也是空间的函数 V x y z  V x y z  V x y z  ( , , ) ( , , ) ( , , ) V x y z i j ( , , ) k (2.3) x y z 对于空间给定的