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PAGE PAGE 5 不等式选讲 [知识点复习] 一、不等式的基本性质 ①（对称性） ②（传递性） ③（可加性） （同向可加性） （异向可减性） ④（可积性） ⑤（同向正数可乘性） （异向正数可除性） ⑥（平方法则） ⑦（开方法则） ⑧（倒数法则） 二、几个重要不等式 ①,（当且仅当时取号）. 变形公式： ②（基本不等式） ,（当且仅当时取到等号）. 变形公式： 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） （当且仅当时取到等号）. ④（当且仅当时取到等号）. ⑤（当且仅当时取到等号）. ⑥（当仅当a=b时取等号） （当仅当a=b时取等号） ⑦ 其中 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧ ⑨绝对值三角不等式 三、几个著名不等式 ①平均不等式：,（当且仅当时取号）. （即调和平均 几何平均 算术平均 平方平均）. 变形公式： ②幂平均不等式： ③二维形式的三角不等式： ④二维形式的柯西不等式： 当且仅当时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式： ⑥一般形式的柯西不等式： ⑦向量形式的柯西不等式： 设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立. ⑧排序不等式（排序原理）： 设为两组实数.是的任一排列，则 （反序和乱序和顺序和） 当且仅当或时，反序和等于顺序和. 四．绝对值三角不等式 定理1：如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时，等号成立。 注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当，不共线时，|+|≤||+||，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。 （2）不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，在侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0，左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|。 定理2：如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)时，等号成立。 五．绝对值不等式的解法 （1）含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集 不等式 a＞0 a=0 a＜0 |x|＜a {x|-a＜x＜a} |x|＞a {x|x＞a 或x＜-a } {x|x∈R且x≠0} R 注：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义（|x|表示数轴上的点x到原点的距离；| x-a |±|x-b|）表示数轴上的点x到点a,b的距离之和（差） （2）|ax+b|≤c(c＞0)和|ax+b|≥c(c＞0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c-c≤ax+b≤c; ②| ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤-c. （3）|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。 六、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法； 1．比较法 （1）作差比较法 ①理论依据：a＞ba-b＞0;a＜b a-b＜0. ②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论。 注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系。 （2）作商比较法 ①理论依据： ②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论。 2．综合法 （1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做推证法或由因导果法。 （2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式。 3．分析法 （1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法。 （2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止。 注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程