历年中考数学专题提升(二).docVIP

专题提升(二) 开放与探究型问题 1．[2011·安徽]如图Z－2－10，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2eq \r(2)，CD＝eq \r(2)，点P在四边形ABCD的边上．若P到BD的距离为eq \f(3,2)，则点P的个数为 (　B　) 图Z－2－10 A．1　　　　　　　　　　B．2 C．3 D．4 【解析】 计算A到BD的距离是eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×eq \r(2)＝2，又0＜eq \f(3,2)＜2，∴在AD，AB上均能找到P点，但C到BD的距离为1，1＜eq \f(3,2)，∴BC，DC上均不存在P点，∴点P的个数为2，故选B. 2．[2010·荆门]如图Z－2－11，坐标平面内有一点A(2，－1)，O是原点，P是x轴上一个动点，如果以点P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为 (　C　) 图Z－2－11 A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】 P的位置有以下几种情况：①PO＝PA，②AO＝PA，③P在O左侧，PO＝OA，④P在O右侧，PO＝OA，共4个，选C. 3．[2011·台州]若点P(x，y)的坐标满足x＋y＝xy，则称点P为“和谐点”．请写出一个“和谐点”的坐标，答：__(2，2)或(0，0)__． 【解析】 由x＋y＝xy得x＝eq \f(y,y－1)，∴取y≠1的任意数求x即可． 4．[2011·安顺]已知如图Z－2－12，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为 (3，4)或(2，4)或(8，4)__． 图Z－2－12 【解析】 运用矩形性质和勾股定理计算OD＝PD时，点P坐标可为(5－3，4)，(5＋3，4)，PO＝OD时，有P(3，4)． 5．[2012·南京]“？”的思考 下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注： 题目：某村计划建造如图Z－2－13所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内，沿前面内墙保留3 m宽的空地，其他三面内墙各保留1 m宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区的面积是288 m2? 图Z－2－13 解：设矩形蔬菜种植区区域的宽为x__m，则长为2x__m．？ 根据题意，得x×2x＝288. 解这个方程，得x1＝－12(不合题意，舍去)，x2＝12. 所以温室外的长为2×12＋3＋1＝28(m)，宽为12＋1＋1＝14(m)． 答：当温室的长为28 m，宽为14 m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2. 我的结果也正确！ 小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？”． 结果为何正确呢？ (1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程； 变化一下会怎样？ (2)如图Z－2－14，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB＝2∶1.设AB与A′B′，BC与B′C′，CD与C′D′，DA与D′A′之间的距离分别为a，b，c，d.要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a，b，c，d应满足什么条件？请说明理由． 图Z－2－14 解：(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由． 在“设矩形蔬菜种植区域的宽为x m，则长为2x m．”前补充以下过程： 设温室的宽为y m，则长为2y m. 所以矩形蔬菜种植区域的宽为(y－1－1)m， 长为(2y－3－1)m. 因为eq \f(2y－3－1,y－1－1)＝eq \f(2y－4,y－2)＝2， 所以矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1. (2)要使矩形△A′B′C′D′∽矩形ABCD，则a＋c＝2(b＋d)． 理由：因为矩形矩形△A′B′C′D′∽矩形ABCD， 所以eq \f(A′D′,A′B′)＝eq \f(AD,AB)，即eq \f(AD－（a＋c）,AB－（b＋d）)＝eq \f(2,1)， 即eq \f(2AB－（a＋c）,AB－（b＋d）)＝eq \f(2,1)， 即eq \f(a＋c,b＋d)＝2. 6．[2010·台州]类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为 3＋(－2)＝1.若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a(向右为正，向左为负，平移eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))个单位)，沿y轴方向平移的数量为b(向上为正，向下为负，平移eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c