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第一章第1讲 §2 离散时间系统 离散时间系统的定义和性质 线性时不变离散系统 线性时不变离散系统的基本元件 单位脉冲响应与卷积 序列的相关性 离散时间系统的因果性与稳定性 离散时间系统的定义和性质 定义：指将输入序列变换成输出序列的一种运算电路。 齐次性： ax(n)? ay (n) 叠加性： x1(n)+ x2(n) ? y1(n)+ y2(n) 线性性： a1 x1(n)+ a2 x2(n) ? a1 y1(n)+ a2 y2(n) 时不变性(延迟性或移不变性)： x (n-m)? y (n-m) 差分性： ?x (n)? ?y (n) 累加和性： 线性时不变离散系统 定义 线性时不变离散系统 时不变性 线性时不变离散系统 线性时不变离散系统的基本元件 基本元件 单位脉冲响应与离散卷积 单位脉冲响应 例 1-2-2 序列的相关性 定义 序列的相关性 离散时间系统的因果性与稳定性 系统的因果性 系统的稳定性 第一章第1讲 第一章第1讲 第一章第1讲 * 同时满足线性性和时不变性的离散时间系统。即： 线性性 例：试证明以下系统为线性时不变系统。 证明： 1、线性性 设有序列 和 及常数 和 ，则有 ∴该系统为线性系统。 2、时不变性： ∴系统为时不变系统。 在上式中令 ，则上式右边变为： 1、加法器 2、系数乘法器 3、延时器 线性时不变离散系统任意激励下的响应 与单位脉冲响应 之间的关系 离散卷积的性质与计算 1、卷积的性质： 可交换性： 单位脉冲响应与离散卷积 结合性： 分配性： 单位脉冲响应与离散卷积 2、卷积的计算 包括以下四个步骤：反褶、 移位、相乘、求和 反褶：先将 和 中的变量 换成 ，变成 和 ，再将 以 为轴反褶成 。 移位：将 移位 ，变成 。 为正数， 右移 位， 为负数，左移 位。 3) 相乘：将 与 在相同的对应点相乘。 4) 求和：将所有对应点乘积累加起来，就得到 时刻 的卷积值。对所有的 重复以上步骤，就可 得到所有的卷积值 。 设 求： 解： 由所给序列表达式先给出 和 的图形 x(m) 0 1 2 3 1/2 1 3/2 m 0 1 2 m 1 h(m) 例 1-2-2 x(m) 0 1 2 3 1/2 1 3/2 m 0 1 2 m 1 h(m) 0 －1 －2 m 1 h(－m) n=0时 x(m) 0 1 2 3 1/2 1 3/2 m －1 0 1/2 3/2 3 5/2 3/2 0 例 1-2-2 0 1 2 3 4 5 y(n) n 1/2 3/2 3 5/2 3/2 结论： 两个长度分别为M和N的有限长序列的卷积结果是长度为M+N-1的序列 1、上式中 代表两个序列 和 间的相对位移。 2、序列的互相关运算用于比较两个序列之间的相似性，并根据这种相似性进行信号的检测和测量。3、序列的互相关运算也是一种运算，该运算方式形式上十分类似于卷积运算，因此应格外注意二者的区别。 两个序列 和 的线性互相关序列 为： 说明 4、式中 的下标顺序 表示在上述互相关运算中， 在时间上保持不变，而对 进行相对移位。 5、将上式中 的下标顺序反过来变成 ，则结果为： 表示在上述互相关运算中， 在时间上保持不变，而对 进行相对移位。 序列的相关性 线性自相关 若序列的相关运算定义式中 ，则称为x(n)的线性自相关，即： 当m=0时， 卷积运算与相关运算的关系 结论：序列y(n)相对参考序列x(n)的互相关运算，可以将y(n)通过具有单位脉冲响应为x(-n)的线性时不变系统得到。 系统在 时刻的输出只取决于 时刻和 时刻以前的 输入，而与 时刻以后的输入无关。 系统的因果性表明了系统的物理可实现性。 如果系统的输出与将来的输入有关，该系统为非因果 系统，是物理不可实现的。 线性时不变系统具有因果性的充要条件 即要求描述系统特性的h(n)为一因果序列 关于该结论的证明详见教材P14页 离散时间系统的因果性与稳定性 系统对于任何有界输入，输出也是有界的。 称这种稳定性为有界输入—有界输出(BIBO)稳定性。 系统的稳定条件 典型例题 若描述某离散系统特性的单位脉冲响应为： 试讨论系统