函数与导数经典例题(含答案).doc

PAGE \* MERGEFORMAT PAGE \* MERGEFORMAT 1 函数与导数 1. 已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，求的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的在区间内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当时， 所以曲线在点处的切线方程为 （Ⅱ）解：，令，解得 因为，以下分两种情况讨论： （1）若变化时，的变化情况如下表： + - + 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。 （2）若，当变化时，的变化情况如下表： + - + 所以，的单调递增区间是的单调递减区间是 （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论： （1）当时，在（0，1）内单调递减， 所以对任意在区间（0，1）内均存在零点。 （2）当时，在内单调递减，在内单调递增，若 所以内存在零点。 若 所以内存在零点。 所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点。 综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点。 2. 已知函数，． （Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值； （Ⅱ）设，解关于x的方程； （Ⅲ）设，证明：． 本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力． 解：（Ⅰ）， ． 令，得（舍去）． 当时．；当时，， 故当时，为增函数；当时，为减函数． 为的极大值点，且． （Ⅱ）方法一：原方程可化为， 即为，且 ①当时，，则，即， ，此时，∵， 此时方程仅有一解． ②当时，，由，得，， 若，则，方程有两解； 若时，则，方程有一解； 若或，原方程无解． 方法二：原方程可化为， 即， ①当时，原方程有一解； ②当时，原方程有二解； ③当时，原方程有一解； ④当或时，原方程无解． （Ⅲ）由已知得， ． 设数列的前n项和为，且（） 从而有，当时，． 又 ． 即对任意时，有，又因为，所以． 则，故原不等式成立． 3. 设函数， （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）求所有实数，使对恒成立． 注：为自然对数的底数． 【解析】（21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15分。 （Ⅰ）解：因为 所以 由于，所以的增区间为，减区间为 （Ⅱ）证明：由题意得， 由（Ⅰ）知内单调递增， 要使恒成立， 只要 解得 4. 设，其中为正实数. （Ⅰ）当时，求的极值点； （Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围. 【解析】（18）（本小题满分13分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力. 解：对求导得 ① （I）当，若 综合①,可知 + 0 － 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以,是极小值点,是极大值点. （II）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合①与条件a0，知 在R上恒成立，因此由此并结合，知 5. 已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2．71828…是自然对数的底数）。 （I）求实数b的值； （II）求函数f（x）的单调区间； （III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（mM），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由。 【解析】22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分。 解：（I）由 （II）由（I）可得 从而 ，故： （1）当 （2）当 综上，当时，函数的单调递增区间为， 单调递减区间为（0，1）； 当时，函数的单调递增区间为（0，1）， 单调递减区间为。 （III）当a=1时， 由（II）可得，当x在区间内变化时，的变化情况如下表： - 0 + 单调递减 极小值1 单调递增 2 又的值域为[1，2]。 据经可得，若，则对每一个，直线y=t与曲线都有公共点。 并且对每一个，直线与曲线都没有公共点。 综上，当a=1时，存在最小的实数m=1，最大的实数M=2，使得对每一个，直线y=t 与曲线都有公共点。 6. 设函数，，其中，a、b为常数，已知曲线与在点（2,0）处有