动力学方程 拉格朗日方程.ppt

* §1.3 拉格朗日方程 为了得到广义坐标表示的完整力学系的动力学方程–––– 拉格朗日方程，需要先导出达朗伯－拉格朗日方程。 一、达朗伯－拉格朗日方程 设受完整约束的力学体系有n个质点，体系中每一个质点都 服从如下形式的牛顿运动定律，设第i个质点受主动力，受约束 反力，则 ：称为达朗伯惯性力或称有效力 注意：这个达朗伯惯性力与力学中定义过的惯性力不是一个概念， 那里的惯性力是对某一非惯性系而言的，而上式中各质点的 并不相等，所以这里并不存在一个统一的非惯性系。 以 点乘上式后，再对 i 取和，得 理想约束条件下： 则 这是达朗伯原理与虚功原理的结合，称为达朗伯—— 拉格朗日方程，由于存在约束，各 并不彼此独立，因此 不能令上式中 前面的所有乘式都等于零，否则就成为自由 质点的运动微分方程了。 二、基本形式的拉格朗日方程 现在我们从达朗伯－拉格朗日方程出发，把各并不彼此 独立的坐标 用各彼此独立的广义坐标 重新表述，从而导出适用于受理想约束的完整力学系所遵守的 动力学方程—拉格朗日方程。 设n个质点受k个约束，因是完整约束，体系的自由度数 应为 s＝3n－k。以广义坐标 表出 则 代入达朗伯－拉格朗日方程 上式中的两个取和号互不相关，故可以互易，则 令 则 因各 ? q? 互相独立，所以 P?＝Q? 改写 由 令 显然 T 是体系的动能，则有 即 这就是著名的拉格朗日方程，也称基本形式的拉格朗日 方程（或称第二类拉格朗日方程）。其中广义坐标 q?＝q?(t)， 所以上式是以 t 为自变量的广义坐标 q? 的s 个二阶常微分方程 组。只要我们能写出以为变量时体系的动能T和广义力 Q1，Q2，…，Qs，就可以代入上式，从而得到体系的动力学 方程组，再求解，就可得到体系的运动方程。 三、广义动量与广义力的计算 对于单个质点来说，动能对某速度分量的导数是对应的动量分量 与此类比，可以定义广义动量 p? 为 注意：广义动量可以是线动量，也可以是角动量等等， 视广义坐标的选择而定。 而广义力： 广义力可以是力，也可以是力矩等，视广义坐标的选择而定。计算广义力的方法可以有两种：一种方法是从上定义式直接计算，另一种方法是从主动力所作的虚功来计算。 1、从主动力所作的虚功来计算 如求Q1，令? q2＝? q3＝…＝? q s＝0，则 2、从定义式直接计算 求任一广义力Q?时 [例3] 计算一自由质点取 平面极坐标的广义力。 设质点P受力，广义坐标 q1＝r，q2＝? 。与此两 广义坐标对应的广义力为 Q r 和Q? 。求 Q r与Q? , 用两种方法。 解 方法一： 从定义式计算。 将定义式用于极坐标，因 粒子数 n＝1，则 又因 x＝ r cos?，y＝r sin? 则 可见广义力的径向分量就是的径向分量，说明 Qr 是一个力。 另外 上式括号中的第一项为 Fx 在 方向的投影，第二项 是 Fy在 方向的投影。 所以两者之和就是 在 方向的投影 F? ，因此 Q?＝ r F?（是力矩） 可见广义力的横向分量 Q? 是力矩。 方法二：从主动力 所作的虚功来计算 则 则 两种方法的结果一致 四、保守力学系的拉格朗日方程 实际上，在很多情况下我们仅遇见保守力学系。 对于保守力学系，存在势能 则对任一个质点有 分量式为 现在把广义力与势能函数连系起来 代入基本形式的拉格朗日方程，则 注意：一般势能函数不显含时间和速度变量，即 V＝V（x1，y1，z1，…，x n，y n，z n）＝V（q1，q2，…，q s） 则 令 L＝T－V ，则 与 代入最顶上一式： L＝T－V 叫拉格朗日函数。一般 L 是广义坐标，广义速度 和时间的函数。 即 简记为 而 仍是广义动量。 这就是受理想约束的完整系在保守力作用下的拉格朗日 方程。因为用得较多，就直接称它为拉格朗日方程。当取广 义坐标和广义速度为独立变量时，只要知道了 L ，就可以求 出 q?所满足的动力学方程，从而可求出体系的全部力学性质。 因此，我们说：取广义坐标和广义速度为变量时，拉格朗日 函数L是力学体系的一个特性函数。 五、循环积分与能量积分 拉格朗日方程是 s 个二阶常微分方程组，我们希望也像牛顿 力学一样 ，若能首先对微分方程组积分一次 ，找出某