分类计数原理和步计数原理2.ppt

良乡中学数学组 任宝泉 　　　　　　　　　　　　　　　　 经全国中小学教材审定委员会 2002年审查通过 全日制普通高级中学教科书(必修) 人民教育出版社中学数学室 编著 第二册 (下) 数 学 　　　　　　　　　　　　　　　　 高中数学第十章 排列、组合和二项式定理 * 书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟 少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！ 分类计数原理（加法原理）：完成一件事，在n类办法，在第1类办法中有m1种不同的办法，在第2类办法中有m2种不同的办法······在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+　···　+mn 回顾 分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，在第1步有m1种不同的办法，在第2步有m2种不同的办法······在第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m1×m2×　···　×mn 例1:电视台在“欢乐大本营”节目中，拿出两个信箱。其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封。现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？ 解：分两大类 （1）幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，在在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20=17400种结果； （2）幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11400种结果； 因此共有17400+11400=28800种不同的结果。 例2 用0，1，2，3，4，5这六个数字， （1）可以组成多少个数字不重复的三位数？ （2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？ （3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？ （4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？ （5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？ 例3：在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数有多少？。 解：此题是典型的既要分类，又要分步的问题，从组成两位数的过程要分步，求个位数字小于十位数字要分类。注意到十位数字不能为零，我们可以从十位数字的填法进行分类。 第一类，十位数字填9，那么个位数字可以填0，1，2，‥‥，8； 第二类，十位数字填8，那么个位数字可以填0，1，2，‥‥，7； ‥‥ ‥‥ 第九类，十位数字填1，那么个位数字只可以填0。 例4：集合A=｛a,b,c,d,e｝,集合B=｛1,2,3｝,问A到B的不同映射f共有多少个?B到A的映射g共有多少个? 集合A={a，b，c}，B={d，e，f，g}，从集合A到集合B的不同映射的个数（ ） A.24 B.81 C.6 D.64 例5：有n种不同颜色为下列两块广告牌着色（如图甲、乙），要求在①、②、③、④四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一种颜色： ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ （1）若n=6，则为甲着色时共有多少种不同的方法？ 图甲 图乙 （2）若为乙着色时共有120种不同的方法，求n的值。 分析：完成着色这件事共分四个步骤。可依次考虑为①、②、③、④着色时各自的方法数，再由分步计数原理确定总的着色方法数。 ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ 图甲 图乙 解（1）为①着色有6种不同的方法，为②着色有5种，为③着色有4种，为④着色也有4种。所以共有着色方法N=6×5×4×4=480种 解（2）与甲区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块。同理可以得到着色方法种n(n-1)(n-2)(n-3)。 所以有：n(n-1)(n-2)(n-3)=120 解之：n=5。 1. 求下列集合的元素个数．（1） （2） ． 2. 有四位同学参加三项不同的比赛， （1）每位同学必须参加一项竞赛，有多少种不同的结果？ （2）每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同的结果？ 3.6个人分到3个车间，共有多少种分法？ 4.甲、乙、丙、丁四个人各写一张贺卡,放在一起,再各取一张不是自己所写的贺卡,共有多少种不同的取法? 练习: 总结： 　　分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，它不仅是推导排列数与组合数计算公式的依据，而且其基本思想贯穿于解决本章应用问题