课件：数学建模 模糊数学.ppt

(2) 对称性：若对于X 上的任意两个元素 x , y，都有R (x , y ) =R ( y , x ) ，那么称R具有对称性。 设R为 X 上的模糊关系 (3) R具有传递性当且仅当 设R为 X 上的模糊关系 R2 ? R. 这里R2是R和R本身的合成。注意包含关系： R1? R2 ? R1(x, y)≤R2(x, y)。 模糊等价关系 若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足： (1)自反性：R(x, x) =1； (2)对称性：R(x, y) =R(y, x)； (3)传递性：R2?R, 则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系. 模糊等价关系是经典等价关系的推广 X上的经典等价关系R满足： (1)自反性：R(x, x) =1； (2)对称性：R(x, y) =R(y, x)； (3)传递性：如果x和y有关系，y和z有关系，那么x和z一定也有关系 。 模糊等价关系和经典等价关系的联系 定理1 R是模糊等价关系当且经当R的任意?-截集都是经典等价关系。 3.模糊聚类 U上的一个分类C可以诱导一个U上的等价关系R，R(a,b)=1当且仅当a和b在一类。 U上的一个等价关系R可以诱导一个U上的分类C，a和b在一类当且仅当R(a,b)=1。 聚类的前提条件 在某一方面的相似关系 模糊相似关系 R 是 X 上各元素之间的模糊关系，若R 满足：对于任意的x，y， (1) 自反性：R( x , x ) = 1； (2) 对称性：R( x , y ) = R( y , x ) ， 则称模糊关系 R 是 X 上的一个模糊相似关系. 当论域X = {x1, x2, …, xn}为有限时，X 上的一个模糊相似关系 R 诱导的模糊矩阵称为模糊相似矩阵，即R满足： (1) 自反性：I ≤R (? rii =1 )； (2) 对称性：RT = R (? rij = rji ). 模糊相似关系未必是模糊等价关系 模糊聚类的关键 得到模糊相似关系。 由模糊相似关系出发得到模糊等价关系。 由模糊等价关系的?-截集得到等价关系，从而分类。 数据标准化 设论域X = {x1, x2, …, xn}为被分类对象,每个对象又由m个指标表示其形状: xi = { xi1, xi2, …, xim}, i = 1, 2, …, n 于是,得到原始数据矩阵为 平移 ? 标准差变换 其中 平移 ? 极差变换 模糊相似矩阵建立方法 相似系数法 ----夹角余弦法 相似系数法 ----相关系数法 距离法 rij = 1 – c d (xi, xj ) 其中c为适当选取的参数. 海明距离 欧氏距离 切比雪夫距离 d (xi, xj ) = ∨{ | xik- xjk | , 1≤k≤m} 由模糊相似矩阵诱导模糊等价矩阵 定理2 若R 是模糊相似矩阵，则对任意的自然数 k，Rk 也是模糊相似矩阵. 要借助模糊相似矩阵的性质 模糊相似矩阵的性质 定理3 若R 是n阶模糊相似矩阵，则存在一个最小自然数 k (k≤n )，对于一切大于k 的自然数 l，恒有Rl = Rk，即Rk 是模糊等价矩阵(R2k = Rk ). 此时称Rk为R的传递闭包，记作 t ( R ) = Rk . 模糊相似矩阵的性质 上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊等价矩阵. 有限步之内可以求出 平方法求传递闭包 t (R)： R?R2?R4?R8?R16?… 最后由模糊等价关系的?-截集得到等价关系，从而分类。不同的?得到的分类可能是不一样的。 在模糊聚类分析中，对于各个不同的?∈[0,1]，可得到不同的分类，从而形成一种动态聚类图，这对全面了解样本分类情况是比较形象和直观的. 取?=0.4时等价类个数1个。 例3.由模糊相似关系到模糊等价关系：平方法 例3.由模糊相似关系到模糊等价关系：平方法 所以 是一个模糊等价关系。 取?=0.8时等价类个数2个。 所以取?=0.9时等价类个数3个。 小结 1.模糊数学不是模模糊糊的数学。 2.模糊数学是处理不确定性的 重要学科。 * 模糊数学基础 主讲人：韩邦合 Fuzzy Mathematics 实际生活中充满了模糊概念，例如,要你某时到飞机场去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. 精确概念：时间、地点、男人 模糊概念：大胡子、高个子、长头发、宽边眼镜、中年人 模糊概念是存在的，也是必须的，更是重要的。 人类大脑对于模糊性概念具有较强的处理能力，模糊数学研究处