导数研究函数性质.docVIP

1．导数与导函数的概念 (1)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数(derivative)，记作f′(x0)． (2)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)． 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝C(C为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α为常数) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a0，a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ln x f′(x)＝eq \f(1,x) f(x)＝logax(a0，a≠1) f′(x)＝eq \f(1,xln a) 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)[eq \f(f?x?,g?x?)]′＝eq \f(f′?x?g?x?－f?x?g′?x?,g2?x?)(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(　　) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　　) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　) (5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．(　　) 1．(教材改编)f′(x)是函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为________． 2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是________． 3．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′(eq \f(π,2))sin x＋cos x，则f′(eq \f(π,4))＝________. 4．已知点P在曲线y＝eq \f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是__________． 5．(2015·陕西)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝eq \f(1,x)(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________． 题型一　导数的运算 例1　求下列函数的导数： (1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)； (2)y＝x2sin x； (3)y＝3xex－2x＋e； (4)y＝eq \f(ln x,x2＋1)； (5)y＝ln(2x－5)． 思维升华　(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元． (1)f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，则x0＝________. (2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________. 题型二　导数的几何意义 命题点1　已知切点的切线方程问题 例2　(1)函数f(x)＝eq \f(ln x－2x,x)的图象在点(1，－2)处的切线方程为__________． (2)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________． 命题点2　未知切点的切线方程问题 例3　(1)与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是__________． (2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为____________． 命题点3　和切线有关的参数问题 例4　已知f(x)＝ln x，g(x)＝eq \f(1,2)x2＋mx＋eq \f(7,2)(m0)，直线l与函数f(