7、方程类经济数学模型.ppt

在自然科学、生物科学和经济与管理科学的许多实际问题 中，常常需要寻求某些变量之间的函数关系。其中大多数函数 关系不能由问题的实际意义直接确定，这时常常根据实际需要 或已知条件建立数学模型。微分方程就是最常用的数学模型之 一。 这一章介绍微分方程和差分方程的一些基本知识，包括它 们的概念与解法。我们学习的重点是微分方程和差分方程的求 解。 §7.1 从新产品销售模型谈起 问题：售出产品对销售速度的影响。 假设： t时已售出的产品数为x(t)； 每一个已售出的新产品在单位时间内平均吸引r个顾 客。 从销售量为x0的那时刻算起，即x(0)=x0。 模型： 结果：x=x0ert 。 分析：当通过努力已有x0的产品投入使用，这时函数 x(t)=x0ert在开始的阶段能较好地反映真实的销售情况。 x(t)=x0ert的局限： 取t=0表示新产品诞生的时刻，即x(0)=0，这时销售函 数为x(t)=0，显然不符合事实。 在x(t)=x0ert中，若令t→+∞，则有x(t)→+∞，这也与 事实不符。 模型修正： x(t)应该有一个上界。设需求量的上界为K，则尚未使用新 产品的户数为K-x(t) 。 重建模型： 结果： 定义 此函数的图像称为增长曲线或Logistic曲线。 分析 讨论销售量增长速度的变化。 §7.2 微分方程的基本概念 定义 含有自变量、未知函数以及未知函数的导数(或微 分)的函数方程称为微分方程。 未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程； 未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程。 例 下列微分方程 中 是常微分方程， 是偏微分方程。 定义 微分方程中所含未知函数的导数(或微分)的最高阶 数称为微分方程的阶。 例 下列微分方程 中 是一阶微分方程， 是二阶微分方程。 n阶常微分方程的一般形式为： 定义 若在n阶常微分方程F(x,y,y, …,y(n))=0中，函数F是 y、y、…、y(n)的线性函数与f(x)的和，则称此方程为线性(常) 微分方程。不是线性微分方程的微分方程称为非线性(常)微分 方程。 例 微分方程 中 是线性微分方程， 是非线性微分方程。 线性微分方程的一般形式为： y(n)+a1(x)y(n-1)+…+an-1(x)y+an(x)y=f(x) 其中ai(x)、f(x)为已知。 定义 对方程F(x,y,y,…,y(n))=0，即 若函数y=f(x)满足F(x,f (x), f (x),…,f(n)(x))≡0，则称f(x)为 此微分方程的(显式)解。 若由Φ(x,y)=0确定的隐函数是微分方程的解，则称之为 此微分方程的隐式解。 例 证明由(x+y)ex-y=C(C为任意常数)确定的隐函数是微分 方程(1+x+y)dx+(1-x-y)dy=0的隐式解。 定义 对一般的n阶微分方程，要写出它的所有的解需用 n个常数，带有n个常数的解称为n阶微分方程的通解或一般 解或所有解。 定义 微分方程的每个 (不含任意常数)的解称为其特解。 为得到特解而给出的一些未知函数应该满足的条件，称 为定解条件。 求微分方程满足某个定解条件的解的问题称为定解问题； 最常用的定解条件是给出函数及其导数在某在某一点 的值，这样的定解条件称为初始条件。 求微分方程满足某个初始条件的解的问题称为初值问题。 §7.3 一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式： F(x,y,y)=0 其中F为已知函数。 一阶微分方程的标准形式： y=f(x,y)或M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 其中f、M、N为已知函数。 一阶微分方程的初始条件： y(x0)=y0 一、可分离变量方程 定义 形如 y=f(x)g(y)或M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy=0 的方程称为可分离变量方程。 方法：分离变量法 把含自变量x的式子(包括dx)放在方程的一边，把含因变 量y的式子(包括dy)放在方程的另一边，然后