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实二次型的合同标准形与正交标准形 杨忠鹏　陈智雄　晏瑜敏　林志兴 * 福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第八次研讨会 * 2007年6月30日 莆田学院数学系 一、二次型的基本问题 （1） （1）可被唯一表示为 （2） 基本问题： （3） 其中 , 可逆 常用的实二次型化简 2） （5） （5）中 为实二次型的正交标准形. 1） （4） 称（4）为实二次型的合同标准形. 其中 , 可逆, , 为正、负惯性指数. 二、目前的教材处理情况 1. 北大教材[1] 第五章 二次型 五节内容 基本问题：合同标准形 第九章 欧几里得空间 §9.6 实对称矩阵的标准形 基本问题：正交标准形 第十章 双线性函数与辛空间 §10.3 双线性函数 将基本知识分散处理于三部分 距离远、联系差 2. 张禾瑞、郝鈵新：高等代数（第四版）[2] 第八章 欧氏空间和酉空间 §8.4 对称变换和对称矩阵 基本问题：正交标准形 第九章 二次型 §9.1-§9.3 基本问题：合同标准形 §9.4 主轴问题、正交标准形 福师大所编教材[3]的处理与[2]相似（只讲 第六章 二次型，第七章 欧氏空间），[3]另一个特点是二次型从简单的线性函数和双线性函数入门（也综合[1]的较高的起点）. 3. 非数学专业教材 两种标准形是紧密出现的 居余马[4] 第五章 特征值和特征向量、矩阵的对角化 §5.3 实对称矩阵的对角化（正交标准形） 第六章 二次型（主要是实二次型） 同济线性代数[5] 第五章 相似矩阵及二次型 §5.4 对称矩阵的对角化 §5.5 二次型及其标准型 §5.6 用配方法化二次型成标准型 §5.7 正定二次型 中国人大 线性代数[6] 第四章 矩阵的特征值 §4.4 实对称矩阵的对角化 第五章 二次型 4. 新出版的一些高等代数教材 邱维声[7] 第五章 矩阵的相抵分类与相似分类 第六章 二次型、矩阵的合同分类 这样可将正交标准形同时纳入教学内容 姚慕生[8] 实对称矩阵的正交相似标准型是比一般合同标准型更强有力的工具.（见[8,P246]） 第八章 二次型 §8.1 正交相似标准形 §8.2 合同标准形 第九章 内积空间 第十章 双线性型 张贤科[9] 结构有较大变化，分三部分： Ⅰ 基础内容 多项式 线性代数 线性空间 线性变换 Ⅱ 深入内容 第七章 方阵相似标准形与空间分解 第八章 双线性型、二次型与方阵相合 第九章 欧几里德空间与酉空间 Ⅲ 选学内容 三、几点看法 1. 实二次型两种标准形的重要性 数学专业教材 新编教材 非数学专业教材 2007年国家教育部颁布的考研大纲，变化最大的部分是 二次型的两种标准形 作为高数四的新增内容. 现在高数一、二、三、四的线性代数考纲基本相同. 2. 要注重讨论的几何背景 合同标准形可给出二次曲面的仿射分类 [9,§8.8 二次曲面的仿射分类, 定理8.13] 定理8.13 对 中二次超曲面 记 分别为 的秩、正惯性指数、负惯性指数、符号差； 分别为 相应的值. 则可经仿射变换化此二次超曲面的方程为 当 当 当 1） 2） 3） [9, §9.5 二次曲面的正交分解, 定理9.12] 定理9.12 设欧几里得空间 中二次超曲面在一标准正交基下的方程为 实对称方阵 的非零特征值 ，则可经过正交 变换化此曲面为下列情形之一： 1） （当 为 的秩 ） 2） （当 ） （ ） 3） （当 ） 3. 要加强对正交矩阵相关性质的教学 运算性质 与正交标准形相关的矩阵分解 结构性质 i) 行(列)向量标准基 ii) 元素与代数余子式 iii) 特征值