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研究2014年高考天津卷理科压轴题 题1(2014年高考天津卷理科第20题)设f(x)＝x－aex(a∈R)，x∈R.已知函数y＝f(x)有两个零点x1，x2，且x1x2. (1)求a的取值范围； (2)证明：eq \f(x2,x1)随着a的减小而增大； (3)证明：x1＋x2随着a的减小而增大． 解(1)题设即关于的方程有两个零点. 用导数可得函数在上分别是增函数、减函数，且.由此可作出函数的图象如图1所示： 图1 所以所求答案为. (2)设.关于的方程的两个零点分别是；关于的方程的两个零点分别是. 图2 由图2可得，所以，即欲证成立. (2)的另证 可得，所以. 由已证的，得，所以，，即欲证成立. (3)可设.在(2)的另证中已得，即.所以 ① 得. 设，得. 再设，得，所以是增函数，得. 再由此得，所以即是的增函数. 又由(2)的结论知，是的减函数.所以是的减函数，即欲证结论成立. 笔者研究题1后，得到了如下结论： 定理1若函数f(x)＝x－aex(x∈R)有两个零点x1，x2(x1x2)，则(设)： (1)的取值范围分别是，且. (2)均是的增函数也均是的减函数，它们的取值范围分别是；是的减函数也是的增函数，其取值范围是(0,1). (3). 证明 (1)由题1(1)的解答及式①立得. (2)由以上题1的结论(2),(3)及(2)的另证得：均是的减函数. 又题1的结论(2)“即是的减函数”也即“是的减函数”，所以均是的增函数. 由(1)的结论，可得 再由洛必达法则，可得的取值范围分别是. 由(1)的结论，可得.设，得 所以是增函数，再由洛必达法则，可得函数的值域是. 所以是的增函数也是的减函数，其取值范围是. 由(1)的结论，可得.设，得 所以是减函数，再由洛必达法则，可得函数的值域是. 令后，可得是的减函数也是的增函数，其取值范围是(0,1). 由，分别是的增函数，，可得是的增函数也是的减函数. 可得，再由洛必达法则，可得的取值范围是. 可得.三次用导数可证函数是减函数，再由洛必达法则，可得的取值范围是(0,1). 可得.设，得 设，得 ……进而可得均是的增函数也是的减函数，其取值范围是. (3)由(2)的结论得，又，所以. 推论 若函数有两个零点x1，x2(x1x2)，则(设)： (1)的取值范围分别是，且. (2)均是的增函数也均是的减函数，它们的取值范围分别是；是的减函数也是的增函数，其取值范围是. (3). 定理2若有两个零点x1，x2(x1x2)，则(设)： (1)的取值范围分别是，且. (2)均是的增函数也均是的减函数，它们的取值范围分别是. 证明 (1)略. (2)由(1)的结论，得 即显然是的增函数；用导数可证均是的增函数，所以均是的增函数. 由函数的图象可知即是的减函数，所以均是的减函数. 再由洛必达法则，可得欲证成立. 猜想1均是的增函数；是的减函数. 定理3若有两个零点x1，x2(x1x2)，则(设)： (1)的取值范围分别是，且. (2)均是的增函数也均是的增函数，它们的取值范围分别是；是的减函数也是的减函数，其取值范围是. 猜想2均是的增函数；是的减函数.