方程组确定的隐数(北工大).ppt

* * 第二节 方程组确定的隐函数 1.隐函数存在定理 若函数 在以点 为 中心的矩形区域D（边界平行坐标轴）满足 与 在D连续(从而　 在D连续); 定理1 下列条件： 则存在点　的邻域　， 在　存在唯一一个有 连续导数的隐函数 使 且 例1　设方程　　　　　　　　　　，证明 其确定一个隐函数　　　 ，求其　　　． 解：　 在平面内连续，且 由定理可知，存在隐函数　　　　，且 考虑:用复合函数求导数的方法求 2.定理2 若函数　　　　　　　　　　在以点 为中心的矩形区域G满足 在G连续， 下列条件： 且 则存在点 的邻域U,在U存在 唯一一个有连续偏导数的n元（隐）函数 使 注：由于隐函数的存在性的证明与区域D的 维数无关，则可直接推广到本定理． 定理3 设 与　　　　　在点 的邻域G满足下列条件： １）四元函数　　　 　　与　　　　　 的所有偏导数在G连续(从而　　　在G连续)； ２） 3、方程组确定的隐函数 ３）行列式 则存在点　　　　的邻域　，在　存在唯一 与　　　　　　　 且 一组有连续偏导数的(隐)函数组 使 证明　 由条件３)，行列式　在点　不为零． 则　　　中至少有一个在点　不为零． 不防 下面验证四元函数　　　　　在 点　　　　　　的邻域G满足定理2的条件， １)函数　　　　　　的所有偏导数在G连续, 2) 3) 设 这三个条件满足，由定理２，在点 的某个邻域D存在唯一一个连续 隐函数 使 函数　　　　　　的偏导数 在邻域D连续． 将函数　　　　　 代入四元函数 中，设 验证函数　　　　　在点　　　　　的邻 域D满足定理2的条件.　 （1） １）函数　　　　　的所有偏导数在D连续． 因为 已知 在邻域D 连续．则　　　　　　在邻域D连续． ２） ３） 已知 由（1）式，有 由已知条件，有 函数　　　　　满足定理２的条件，则在点 的某邻域 存在唯一一个连续隐函数 使 且 函数　　　　　的偏导数　　　在邻域　　　　 连续． 将　　　　　代入　　　　　　中，设 最后证明隐函数组　　　　　与　　　　　　　　　 满足定理的要求． 已知函数　　　　　　 在　　连续， 在　　　　连续，则 在　连续， 即 在　连续， 并代入函数 中,有 而且有 已知函数 的偏导数在邻域 连续. 在邻域 连续,则 在邻域 也连续. 证毕. 若函数组　　 　的 ，在点 行列式 则在点 的某邻域存在有连续偏导数的 。 反函数组 所有偏导数在点 的邻域连续，且 推论 证明 函数组 可改写为 显然,函数 的所有偏导数在点 的邻域连续,且 又有 由定理3,在点 的某邻域存在连续 偏导数的反函数组 证毕. 4.隐函数组偏导数的求法 设方程组 确定了隐函数组 有 两边关于 求偏导数. 由此可解出