第四讲 绝对值函数和绝对值不等式.doc

从高考到自主招生·第四讲：绝对值不等式和绝对值函数 共16页，第 PAGE 16页 绝对值函数和绝对值不等式 【知识点】 一、绝对值的性质 1.|a|= eq \b\lc\{(\a\al(a，a≥0，,－a，a0)) 推论①：|ab|≥ab(当且仅当ab≥0时，“=”成立)； 推论②：|ab|≥－ab(当且仅当ab≤0时，“=”成立). 2.|a|2=a2； 二、绝对值不等式 3.若a2≥b2，则|a|≥|b|； 证明：由性质2，a2≥b2?|a|2≥|b|2?|a|≥|b|. 4.|a|≥a，(当且仅当a≥0时等号成立)； 推论③：|ab|≥ab. 推论④：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. 证明：(1) ||a|－|b||≤|a－b|： 因为 |ab|≥ab，所以：－2|ab|≤－2ab，所以：a2+b2－2|ab|≤a2+b2－2ab，由性质2，则：(|a|－|b|)2≤(a－b)2，由性质3即证. 此时，当且仅当ab≥0时等号成立. (2) ||a|－|b||≤|a+b|. 证明：由推论②：|ab|≥－ab，所以：－2|ab|≤2ab，从而：(|a|－|b|)2≤(a+b)2，由性质2即证.此时，“=”成立的条件为ab≤0. (3)由2ab≤2|ab|=2|a||b|，则(a+b)2≤(|a|+|b|)2，由性质2即证.等号成立的条件为ab≥0.同理可证：|a－b|≤|a|+|b|.等号成立的条件为ab≤0. 推论⑤：|a1+a2 +…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|. 证明：当n=2时，显然成立； 设当n=k时，有：|a1+a2 +…+ak|≤|a1|+|a2|+…+|ak|； 则当n=k+1时，|a1+a2 +…+ak+ak+1|=|(a1+a2 +…+ak)+ak+1|≤|a1+a2+…+ak|+|ak+1|≤|a1|+|a2|+…+|ak|+|ak+1|. 推论⑥：|a|+|b|= eq \b\lc\{(\a\al(|a+b|，ab≥0，,|a－b|，ab0，))|a|+|b|=max{|a+b|，|a－b|}. 证明：若ab≥0，显然有|a|+|b|=|a+b|， 且此时：|a+b|≥|a－b|，所以：|a|+|b|=max{|a+b|，|a－b|}； ab时，同理可证. 5.对任意a，b∈R，a+b+|a－b|=2max{a，b}. 证明：由于对称性，不妨设a≥b，则：a+b+|a－b|=a+b+a－b=2a=2max{a，b}. 6.对任意a，b∈R，a+b－|a－b|=2min{a，b}. 证明：a+b=max{a，b}+min{a，b}，由性质5，|a－b|=2max{a，b}－(a+b)，从而： a+b－|a－b|=a+b－[2max{a，b}－(a+b)]=2(a+b)－2max{a，b}=2max{a，b}+2min{a，b}－2max{a，b}=2min{a，b}. 7. 对任意实数a，b，|a+b|+|a－b|=2max{|a|，|b|}. 证明①：不妨设a≥b，则|a－b|+|a+b|=a－b+|a－(－b)|=2max{a，－b}； 若b≤a≤0，则2max{a，－b}=2(－b)=2max{|a|，|b|}； 若b≤0≤a，则2max{a，－b}=2max{|a|，|b|}； 若0≤b≤a，则2max{a，－b}=2a=2max{|a|，|b|}. 综上：命题得证. 证明②：由轮换性，不妨设ab≥0，则|a+b|=|a|+|b|=max{|a|，|b|}+min{|a|，|b|}； |a－b|=max{|a|，|b|}－min{|a|，|b|}，两式相加即得. 8.对任意的实数a，b，|a+b|－|a－b|= eq \b\lc\{(\a\al(2min{|a|，|b|}，ab≥0,－2min{|a|，|b|}，ab0)) 证明：若ab≥0，则|a+b|=|a|+|b|=max{|a|，|b|}+min{|a|，|b|}； |a－b|=max{|a|，|b|}－min{|a|，|b|}， 两式相减得：|a+b|－|a－b|=2min{|a|，|b|}. 若ab0，则|a+b|=|a－(－b)|=max{|a|，|b|}－min{|a|，|b|}； |a－b|=|a+(－b)|=max{|a|，|b|}+min{|a|，|b|}； 两式相减得：|a+b|－|a－b|=－2min{|a|，|b|} 四、绝对值函数 1.f (x)=a|x－m|+b (1)函数y=f (x)以点(m，b)为顶点；注意这个点的轨迹往往可以帮助我们简化解题； (2)当a0时，函数有最小值b，无最大值；当a0时，函数有最大值b，无最小值. 2.f (x)=a|x－m|+b|x－n|. (1)函