简支梁的有限单元法分析-三角形三节点单元.ppt

简支梁的有限单元法分析 三角形三节点平面单元 有限元分析的基本步骤： 1 结构离散化 图示为简支梁，梁的厚度为t，泊松比m =0.3，弹性模量为E=2e+5Mpa，用三节点三角形单元进行离散，直角三角形边长为2。 2 单元分析 单元分析的主要内容：由节点位移求内部任一点的位移，由节点位移求单元应变、应力和节点力。 单元分析的步骤： 2.1 形函数 形函数反映了单元的位移形态，是坐标的函数。 三节点三角形单元的形函数为： 3 整体分析 单元刚度矩阵集成总刚度矩阵 用编码法由计算机实现，三节点三角形单元的单刚矩阵是6介的，刚度系数kij表示位于单刚矩阵第i行第j列，用1-6表示单元6个自由度及相应的6个节点力的序号。 如果结构有n个节点，则共有2n个自由度，编号1-2n。 结点载荷列阵 * * 王 峰 结构离散化 单元分析 整体分析 节点 位移 单元内部 各点位移 单元 应变 单元 应力 节点 力 (1) (2) (3) (4) 单元分析 （i , j , m） 三角形三节点单元 i (2,0 ) j (0,2 ) m (0,0 ) y x （i , j , m） 代入坐标得到： 矩阵[N]称为 形函数矩阵。 2.2 位移函数 其中I为二阶单位矩阵 2.3 单元应变和节点位移的关系 由几何方程： 因此，三角形单元的应变矩阵[B]是常量， 代入数据得到： （i , j , m） （i , j , m） 2.4 单元应力和位移的关系 (求应力的表达式) [S]应力矩阵: [S]=[Si Sj Sm] 物理方程 {s }=[D]{e} 而 {e }=[B]{d}e {s }=[D][B]{d }e 记 [S]=[D][B] 由 {e *}=[B]{d *}e 三角形三节点单元，[B]为常量，单元厚度t也是常量，则 令实际受力状态在虚位移状态上做虚功，虚功方程： 得到 {e *}T=({d *}e)T[B]T 2.5节点力与节点位移的关系 求单元刚度矩阵 三角形三节点单元 i (2,0 ) j (0,2 ) m (0,0 ) y x 代入[D],[B]得三角形单元的单元刚度矩阵： 引入支承条件 解方程求位移 任务：建立整个结构的总刚度方程；引入边界条件解方程。 求单元应力 建立整体刚度矩阵 从结构中取出一个单元，如图其3个节点编号是ni nj nm ，节点ni的2个自由度在结构自由度的编号是2ni-1和2ni，在单元6个自由度编号为1和2。 ni nj nm 节点编号为 利用编码表，可确定单元刚度矩阵与整体刚度矩阵的对应关系。例如单元刚度系数k25，从编码表第2格取出2ni，从第5格取出2nm-1，则对应的刚度系数是 同理 把全部单元的刚度系数矩阵按照编码表叠加到整体刚度系数去，就得到整体刚度矩阵[K]。 2nm 2nm-1 2nj 2nj-1 2ni 2ni-1 结构中号码 6 5 4 3 2 1 单元中号码 vm um vj uj vi ui 节点自由度 结点荷载 简支梁受均布荷载，应将其等效为节点荷载。 取边界上一个单元，受到合力ql0t，l0为单元im边长度，t为单元厚度。 单元等效节点荷载为 i j m q 将单元节点荷载集成为结构的节点荷载列阵[P] 结点编号 * *