相似三角形_等积式_比例式.docVIP

相似三角形的判定 相似三角形的知识与圆有着密切的联系，所以我们一定要把这部分知识学好，为学习圆这部分知识打下良好基础。 　　我们本讲重点研究两个问题：一、比例式，等积式的证明；二、双垂直条件下的证明与计算。 　　一、等积式、比例式的证明： 　　等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。因为这种问题变化很多，同学们常常感到困难。但是，如果我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。 　　（一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。 　　等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的字母，就可找出相似三角形。 　　例1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。求证：CD2=DE·DF。 分 析：我们将此等积式变形改写成比例式得： ，由等式左边得到△CDF，由等式右边得到△EDC，这样只要证明这两个三角形相似就可以得到要证的等积式了。因为∠CDE是公共角，只需证明∠DCE=∠F就可证明两个三角形相似。 　　证明略（请同学们证明）提示:D为直角三角形斜边AB的中点,所以AD=DC, 则∠DCE=∠A. （二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线段代换或等比代换。有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。 　 　例2．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点。 　 　求证：BP2=PE·PF。 　　分析：因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC，D是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC，由线段垂直平分线的性质知PB=PC，只需证明△PEC∽△PCF，问题就能解决了。 　　证 明：连结PC 　　在△ABC中，∵AB=AC，D为BC中点， 　　∴AD垂直平分BC， 　　∴PB=PC， ∴∠1=∠2， 　　∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB， 　　∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2， 　　∴∠3=∠4， 　　∵CF∥AB，∴∠3=∠F，∴∠4=∠F， 　　又∵∠EPC=∠CPF，∴△PCE∽△PFC， 　　∴ ，∴PC2=PE·PF，∵PC=PB， 　　∴PB2=PE·PF。（等线段代换） 　　例3．如图，已知：在△ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。 　　求证： 。 　　分 析：比例式左边AB，AC在△ABC中，右边DF、AF在△ADF中，这两个三角形不相似，因此本题需经过中间比进行代换。通过证明两套三角形分别相似证得结论。 　　证明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC， 　　∴∠ADB=∠ADC=∠BAC=900， 　　∴∠1+∠2=900，∠2+∠C=900， 　　∴∠1=∠C， ∴△ABD∽△CAD， ∴ ， 　　又∵E是AC中点，∴DE=EC， 　　∴∠3=∠C，又∵∠3=∠4，∠1=∠C， 　　∴∠1=∠4，又有∠F=∠F， 　　∴△FBD∽△FDA， 　　∴ ，　∴ （等比代换） 　　二、双垂直条件下的计算与证明问题： 　　“双垂直”指：“Rt△ABC中，∠BCA=900，CD⊥AB于D”，（如图）在这样的条件下有下列结论： 　　（1）△ADC∽△CDB∽△ACB 　　（2）由△ADC∽△CDB得CD2=AD·BD 　　（3）由△ADC∽△ACB得AC2=AD·AB 　　（4）由△CDB∽△ACB得BC2=BD·AB 　　（5）由面积得AC·BC=AB·CD 　　（6）勾股定理 　　我们应熟记这些结论，并能灵活运用。 　　例4．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于D，根据下列各条件分别求出未知所有线段的长： 　　（1）AC=3，BC=4； 　　（2）AC= ，AD=2； 　　（3）AD=5，DB= ； 　　（4）BD=4，AB=29。 　　分 析：运用双垂直条件下的乘积式及勾股定理，已知两条线段的长就可求出其他四条线段的长。 　　解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D， 　　（1）∵AC=3，BC=4，由勾股定理得AB= =5， 　　∵AC2=AD·AB，　∴AD= = ， 　　∴BD=AB-AD=5- = ， 　　∵CD·AB=AC·BC， 　　∴CD= （或利用CD2=AD·BD来求） 　　（2）∵AC= ，AD=2，AC2=AD·AB， 　　 　　∴CD= ， 　　∵BD=AB-AD，　∴BD= -2= ， 　　∵BC2=