第五章随机变量数字特征与极限定理.ppt

概率论与数理统计 第五章 随机变量的数字特征与极限定理 第五章 随机变量的数字特征与极限定理 在前面关于随机变量及其分布的讨论中，我们较仔细地讨论了随机变量的概率分布，我们看到随机变量的概率分布(分布函数或分布列和概率密度)是随机变量的概率性质最完整的刻划，是能够完整地描述随机变量的统计规律的. 第五章 随机变量的数字特征与极限定理 5.1 随机变量的数学期望 第五章 随机变量的数字特征与极限定理 5.1 随机变量的数学期望 第五章 随机变量的数字特征与极限定理 5.1 随机变量的数学期望 第五章 随机变量的数字特征与极限定理 5.2 方差 表5.1 几种常用分布表 第五章 随机变量的数字特征与极限定理 5.3 协方差和相关系数、矩 第五章 随机变量的数字特征与极限定理 5.5 大数定律 第五章 随机变量的数字特征与极限定理 5.6 中心极限定理 在例1中，虽然X与Y是不相关的，但是X与Y并不独立. 事实上，因 {X2≤1}∩{X≤?2}= Φ 且 0P(X2≤1)1 0P(X≤?2)1 故 P(X≤?2,Y≤1)≠P(X≤?2)P(Y≤1) 可见，X与Y不相互独立. 本节的最后介绍一下矩的概念，它将在数理统计的矩估计法中得到应用. 定义5.7 若EXk(k=1,2,…)存在，则称它为随机变量X的k阶原点矩； 若E(X?EX)k(k=1,2,…)存在，则称它为随机变量X的k阶中心矩. 由矩的定义可知，数学期望为一阶原点矩，方差是二阶中心矩. 又一阶中心矩恒为0. 矩的计算可以利用随机变量函数的数学期望公式进行. 在前面的1.5节概率的统计定义中曾经讲过，一个事件A发生的频率具有稳定性，即当试验次数n增大时，频率接近于某个常数(A的概率). 在5.1节随机变量的数学期望中又讲过，随机变量X在n次试验中所取的n个值的平均值也具有稳定性，且被稳定的那个值就是X的数学期望. 这里所谓的“稳定性”，或当n很大时“接近一个常数”等等，都是不确切的说法，只是一种直观的描述而已. 初学者常常把它理解为微积分中的变量与极限的关系，这是错误的. 因为事件的频率以及随机变量取的n个值的平均值是随着试验的结果而变的，是随机变量，不是微积分中所描述的变量. 那么究竟如何用确切的数学语言来描述频率与概率、平均值与数学期望之间的关系呢？大数定律回答了这个问题. 为了讲述大数定律，下面先讲一个重要的不等式，它在实际上和理论上都有重要的应用. 5.5.1 切比雪夫(Tchebysheff)不等式 定理5.5 对任意随机变量X，若它的方差DX存在，则对任意的ε0有 成立. 证 设X是一个连续型随机变量，概率密度为f(x)，则 当X是离散型随机变量时，只需在上述的证明中把概率密度换成分布列，把积分好换成求和号即可. 由于 故 与 等价. 式 和式 都称为切比雪夫不等式. 切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下，利用EX、DX对X的概率分布进行估计的一种方法. 例如，由式 可以断言，不管X的分布是什么，对于任意的正整数k都有 当k=3时，有 由3.5节例1知，当X~N(μ,σ2)时，有 比较上面的两个式子可知，切比雪夫不等式给出的估计比较粗糙；但要注意，切比雪夫不等式只利用了数学期望和方差. 因为X与Y相互独立，故 于是 从而 应用方差的性质计算方差，常常能使运算简化，见下例 例6 设 X~B(n,p)，求DX. 解 设在n重伯努利试验中，成功的次数为Y，而在每次试验成功的概率为p，则Y与X有相同的分布，从而有相同的方差(0p1,q=1?p). 设Xi表示在第i次试验成功的次数，i=1,2,…,n，则Xi的分布列为 p 1?p P 0 1 Xi 显然，Y可以用Xi(i=1,2,…,n)表示为： 由Xi的分布列可知，DXi=pq，i=1,2,…,n.由于 X1,X2,…,Xn相互独立，故由方差的性质(ⅲ)得到 与前面的作法比较可见，本例的作法要简单得多. pq p 0—1分布 X~B(1,p) 方差 数学期望 分布列或概率密度 分布 λ λ 泊松分布 X~P(λ) npq np 二项分布 X~B(n,p) 方差 数学期望 分布列或概率密度 分布 几何分布 超几何分布 方差 数学期望 分布列或概率密度 分布 指数分布 X~E(λ) 均匀分布 X~U[a,b] 方差 数学期望 分布列或概率密度 分布 σ2 μ 正态分布 X~ N(μ,σ2) 方差 数学期望 分布列或概率密度 分布 例 设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，均服从(0,1)上的均匀分布，而 求DY? 解 对