算法分析与设计件NP完全问题.ppt

学习要点 理解P类与NP类语言的概念 理解NP完全问题的概念 理解近似算法的性能比及多项式时间近似格式的概念 P类与NP类问题 一般地说，将可由多项式时间算法求解的问题看作是易处理的问题，而将需要超多项式时间才能求解的问题看作是难处理的问题。 有许多问题，从表面上看似乎并不比排序或图的有哪些信誉好的足球投注网站等问题更困难，然而至今人们还没有找到解决这些问题的多项式时间算法，也没有人能够证明这些问题需要超多项式时间下界。 在图灵机计算模型下，这类问题的计算复杂性至今未知。 为了研究这类问题的计算复杂性，人们提出了另一个能力更强的计算模型，即非确定性图灵机计算模型，简记为NDTM(Nondeterministic Turing Machine)。 在非确定性图灵机计算模型下，许多问题可以在多项式时间内求解。 NP完全问题 NP完全问题是不确定性图灵机在P时间内能解决的问题，是世界七大数学难题之一。 数学上著名的NP问题，完整的叫法是NP完全问题，也即“NP COMPLETE”问题，简单的写法，是 NP=P？的问题。问题就在这个问号上，到底是NP等於P，还是NP不等於P。 也就是说，NP问题到底是Polynomial（意思是多项式的），还是Non-Polynomial，尚无定论。 　 　 NP里面的N，不是Non-Polynomial的N，是Non-Deterministic（意思是非确定性的），P代表Polynomial倒是对的。NP就是Non-deterministic Polynomial的问题，也即是多项式复杂程度的非确定性问题。 　　什么是非确定性问题呢？有些计算问题是确定性的，比如加减乘除之类，你只要按照公式推导，按部就班一步步来，就可以得到结果。但是，有些问题是无法按部就班直接地计算出来。比如，找大质数的问题。有没有一个公式，你一套公式，就可以一步步推算出来，下一个质数应该是多少呢？这样的公式是没有的。再比如，大的合数分解质因数的问题，有没有一个公式，把合数代进去，就直接可以算出，它的因子各自是多少？也没有这样的公式。  这种问题的答案，是无法直接计算得到的，只能通过间接的“猜算”来得到结果。这也就是非确定性问题。而这些问题的通常有个算法，它不能直接告诉你答案是什么，但可以告诉你，某个可能的结果是正确的答案还是错误的。这个可以告诉你“猜算”的答案正确与否的算法，假如可以在多项式时间内算出来，就叫做多项式非确定性问题。而如果这个问题的所有可能答案，都是可以在多项式时间内进行正确与否的验算的话，就叫完全多项式非确定问题。  　　完全多项式非确定性问题可以用穷举法得到答案，一个个检验下去，最终便能得到结果。但是这样算法的复杂程度，是指数关系，因此计算的时间随问题的复杂程度成指数的增长，很快便变得不可计算了。  　　 人们发现，所有的完全多项式非确定性问题，都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案，都可以在多项式时间内计算，人们於是就猜想，是否这类问题，存在一个确定性算法，可以在指数时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢？这就是著名的NP=P？的猜想。  　解决这个猜想，无非两种可能，一种是找到一个这样的算法，只要针对某个特定NP完全问题找到一个算法，所有这类问题都可以迎刃而解了，因为他们可以转化为同一个问题。另外的一种可能，就是这样的算法是不存在的。那么就要从数学理论上证明它为什么不存在。  　　 　对P类，NP类及NP完全问题的研究推动 了计算复杂性理论的发展，产生了许多新概念，提出了许多新方法。但是还有许多难题至今没有解决，P=NP?就是其中之一。许多学者猜想P≠NP，但无法证明。 非确定性图灵机 P类与NP类语言 多项式时间验证 NP完全问题 P?NP。 直观上看，P类问题是确定性计算模型下的易解问题类，而NP类问题是非确定性计算模型下的易验证问题类。 大多数的计算机科学家认为NP类中包含了不属于P类的语言，即P≠NP。 NP完全问题有一种令人惊奇的性质，即如果一个NP完全问题能在多项式时间内得到解决，那么NP中的每一个问题都可以在多项式时间内求解，即P=NP。 目前还没有一个NP完全问题有多项式时间算法。 多项式时间变换 多项式时间变换 一些典型的NP完全问题 NP完全问题的近似算法 近似算法的性能 顶点覆盖问题的近似算法 顶点覆盖问题的近似算法 旅行售货员问题近似算法 1 满足三角不等式的旅行售货员问题 2 一般的旅行售货员问题 集合覆盖问题的近似算法 集合覆盖问题的近似算法 子集和问题的近似算法 2 子集和问题的完全多项式时间近似格式 2 子集和问题的完全多项式时间近似格式 * * NP