算法案例1-辗相除法.ppt

复习引入 1、MOD \ 表示什么意思？ a MOD b a\b (a b 是正整数) 思考：若求8251和6105的最大公约数呢？ 注意到 8251=6105×1+2146 那么8251和6105这两个数的公约数和 6105与2146的公约数有什么关系？ 思考：能不能把辗转相除法设计成算法呢？关键步骤是什么逻辑结构？ 思考题 1、用当型循环结构写出算法； 2、试写出更相减损术的算法程序； 3、试写出求两个正整数m、n的最小公倍数的程序。 * 1.3 算法案例 第一课时 问题提出 1.研究一个实际问题的算法，主要从算法步骤、程序框图和编写程序三方面展开.在程序框图中算法的基本逻辑结构有哪几种？在程序设计中基本的算法语句有哪几种？ 2.“求两个正整数的最大公约数”是数学中的一个基础性问题，它有各种解决办法，我们以此为案例，对该问题的算法作一些探究. a=b*q+r (0=rb) 2、求 18与30的最大公约数。 先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来即为最大公约数. 思考:又6105=2146×2+1813，同理，6105与2146的公约数和2146与1813的公约数相等.重复上述操作，你能得到8251与6105这两个数的最大公约数吗？ 2146=1813×1+333， 148=37×4+0. 333=148×2+37， 1813=333×5+148， 8251=6105×1+2146， 6105=2146×2+1813， 完整的过程 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数 辗转相除法 （欧几里得算法） 例：用辗转相除法求225和135的最大公约数 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 m = n × q ＋ r 用程序框图表示出右边的过程 r=m MOD n m = n n = r r=0? 是 否 思考 其算法步骤如何设计？ 第一步，给定两个正整数m，n(mn). 第二步，计算m除以n所得的余数r. 第三步，m=n，n=r. 第四步，若r=0，则m，n的最大公约数等 于m；否则，返回第二步. 思考:该程序框图和的程序如何表述？ INPUT m，n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END 输入m，n 求m除以n的余数r m=n n=r r=0？ 是 输出m 否 开始 结束 知识探究（二）:更相减损术 思考1:设两个正整数mn，若m-n=k，则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等.反复利用这个原理，可求得98与63的最大公约数为多少？ 98-63=35， 14-7=7. 21-7=14， 28-7=21， 35-28=7， 63-35=28， 二、更相减损术 可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。 （1）、《九章算术》中的更相减损术： （2）、现代数学中的更相减损术： 1、用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数 练习： 思路分析：先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4。 2、求324、243、135这三个数的最大公约数。 思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。 比较辗转相除法与更相减损术的区别 （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。 小结 评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算法