数学夏令营之泛函分析.pdf

数学夏令营1：泛函分析 Syan Mukherjee ＋ Alessandro Verri 关于该初级读本 目标 简要的复习在整个课程中将要用到的泛函分析的概念*。 主要介绍了下面的一些概念 1. 函数空间 2. 度量空间 3. 收敛 4. 测度 5. 稠子集 *定义和概念主要源于Kolmogorov 和Fomin 的“Introductory Real Analysis ”（强烈推荐） 6. 可分离空间 7. 完备度量空间 8. 紧致度量空间 9. 线性空间 10. 线性泛函 11. 线性空间的范数和半范数 12. 收敛性回顾 13. Euclidean 空间 14. 正交性和基 15. Hilbert 空间 16. Delta 函数 17. 傅立叶变换 18. 泛函导数 19. 期望 20. 大数定律 函数空间 函数空间是一个由函数构成的空间。在该空间中的每一个函数可以被看作是一个点。例如： 1. C[a,b] ，在区间[a,b] 中的所有实值连续函数的集合。 2. L [a ,b ] ，在区间[a,b]绝对值可积的所有实值函数的集合。 1 3. L [a ,b ] ，在区间[a,b]平方可积的所有实值函数的集合。 2 注意在2 和3 中的函数并不一定是连续的！ 度量空间 度量空间意味着包含一个空间X 和一个距离ρ 的对(X , ρ) ，对于所有的x , y ∈X 所定义的单 值、非负的实函数具有如下的三个特性： 1. ρ(x, y ) 0 当且仅当x y ； 2. ρ(x , y ) ρ(y ,x ) ； 3.三角不等式：ρ(x , z ) ≤ρ(x, y ) +ρ(y , z ) 例子 1.距离为 的所有实数的集合是度量空间 。 2.距离为 的所有有序实数n 元组是度量空间 。 3.满足准则 且距离为 的所有函数的集合是度量空间 。 4.具有Kullback-Leibler 散度 的所有概率密度集合并不是一个度量空间。散度不是对称的 收敛 度量空间S 中的一个开/ 闭球是满足如下条件的的点x ∈ 的集合 半径为ε ，且中心是x 的开球将被称为x 的一个 邻域。表示为O ( x ) 。ε 0 0 ε 0 如果x S 的每一个邻域O ( x) 都包含从某一个整数开始的所有的点x ，那么度量空间 中的一个 ε n 点序列{x } x ,x ,...,x ,...收敛于一个点x ∈S 。给定任意的ε 0 ，存在一个整数N ，使得 n 1 2 n ε 当 x n N 时O ( x) 包含所有的点x