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第五章 自测题解答 PAGE 1 —5— 第 五 章 自 测 题 解 答 自测题A 1．填充题：（请把答案填在题中的空格横线上） （1）设,为一个样本,其中均已知，则 当方差已知时，检验假设应选统计量 ，在 条件下，统计量服从 分布； 当方差未知时，检验假设应选统计量 ，在 条件下，统计量服从自由度为 的 分布； 当未知时，检验假设应选统计量 ，在条件下，统计量服从自由度为 的 分布，拒绝域为 。 当未知时，检验假设应选统计量，在 条件下，统计量服从自由度为 的 分布，拒绝域为 。 （2）设由来自总体的长度为100的样本，测得样本均值，则的置信度近似等于0.95的置信区间为 。 分析：本题属于方差已知时求数学期望的区间估计，故取样本函数 对于给定的=1－0.95，由，查标准正态分布表求得=1.96。得的置信度为0.95的置信区间，。即 （5－1.96/10，5+1.96/10）=（4.804，5.196） （3）在天平上重复称量一重为的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布。若以表示次称量结果的算术平均值，则为使 的最小值应不小于自然数 16 。 分析：由于 所以为使，只需，即，由标准正态分布表，，得，故的最小值应不小于自然数16。 （4）设，其中是来自总体的简单随机样本。试问当、各为何值时，统计量服从分布，并指出其自由度。 解：依题意，要使统计量服从分布，则必需使及服从标准正态分布。由相互独立的正态随机变量的性质知，从而解得1/20。同理得1/100，且自由度为2。 2．设为的一个样本，且的概率分布为 其中为未知参数，为常数，求的极大似然估计。 解：设为观测值，构造似然函数 令 ，解得，因此的极大似然估计为。 3．设为来自总体X的一个样本，且存在，问统计量（1）、（2）是否为的无偏估计。 （1）； （2）。 解：（1）由于，故不是的无偏估计。 （2）由于，故是的无偏估计。 4．设总体X服从 ，为来自总体X的一个样本，且存在，试问统计量（1）、（2）、（3）是否为的无偏估计，并从无偏估计中找出较好的一个。 （1）； （2）; （3）。 解：（1）由于 所以是的无偏估计； （2）由于 所以不是的无偏估计。 （3）由于 所以是的无偏估计。 而 显然，故最好。 5．设由来自总体的容量为9的样本得样本均值，求未知参数的置信度为0.95的置信区间 。 解：本题属于方差已知时求数学期望的区间估计，故取样本函数 对于给定的=1－0.95，由，查标准正态分布表求得=1.96。得的置信度为0.95的置信区间，。即 （5－1.96，5+1.96）=（4.412，5.588） 6．设由来自总体的长度为9的样本得样本均值，样本标准差，求： （1）未知参数的置信度为0.95的置信区间； （2）未知参数的置信度为0.95的置信区间。 解：（1）本题属于方差未知时求数学期望的区间估计，故取样本函数 对于给定的=1－0.95，由，查分布表求得=2.3060。得的置信度为0.95的置信区间,。即 （5－2.3060×1.01/3，5+2.3060×1.01/3）=（4.2236，5.7764) 取样本函数 对于给定的=0.05，由及，查分布表求得，，将上述计算结果及已知条件代入 ，） 得总体方差的置信度为0.95的置信区间为 ， ）=(，) 7．为比较两种燃料与的辛烷值，各取12个样品进行测试，分别测得其辛烷值的样本均值和样本方差分别为，和，，辛烷值越高，燃料质量越好。设两种燃料的辛烷值分别服从正态分布，，且两样本相互独立。（1）在水平下，检验假设；（2）在水平下，检验假设。 解：（1）依题意，选取统计量 （当成立时） 由条件，，，，，从而，对给定的，由，查表得，，由于，故不能拒绝，即接受。 （2