第五节洛朗级数展开.ppt

二. 双边幂级数 三. 收敛环的确定 * * 其中 被称为双边幂级数的正幂部分 被称为双边幂级数的负幂部分 设正幂部分的收敛半径为R1；而负幂部分在变换?=1/(z-z0)下的级数的收敛半径为1/R2 ，则其在|z-z0|R2外收敛。如果R2R1，那么双边幂级数就在环状域 R2|z-z0|R1 内收敛，所以 R2|z-z0|R1给出了双边幂级数的环状收敛域，称为收敛环。 双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛。 正幂部分 负幂部分 R2 R1 z0 R1 z0 |z-z0|R1 R2 z0 R2|z-z0| 收敛环 R2|z-z0|R1 积分路径C为位于环域内按逆时针方向饶内圆一周的任一闭合 曲线. 四. 洛朗定理 证明: 为了避免讨论在圆周上函数的 解析性及级数的收敛性问题,将外圆稍微 缩小为 ,内圆稍微扩大为 ,如图 应用复通区域上的柯西公式有 下面将 展开为幂级数,对于沿 的积分,展开如下: 而对于沿 的积分,考虑到 用以下方法将其展开 把分别沿 和 的展开式代入下式,然后逐项积分可得 把第二部分中的k=-(l+1)代替l作为求和指标,并根据柯西定理 把积分回路改为 可得 其中 C为环域内沿逆时针方向饶内圆一周的任一闭回线,上式称之为 f(z)的洛朗展开,右端的级数称为洛朗级数 说明: 虽然级数中含有z-z0的负幂项,而这些项在z=z0时都是 奇异的,但点z0可能是也可能不是函数f(z)的奇点 虽然展开系数ak的公式与泰勒展开系数ak的公式形式 相同,但这里 不论z0是不是f(z)奇点. 如果是奇点,则 根本不存在 如果z0不是奇点,则 因为 成立的条件是以C为边界的 区域上f(z)解析,但现在区域上有f(z)的奇点,(如果没有奇点,就不用 考虑洛朗级数的展开) 不是z0 (3) 如果只有环心z0是f(z)的奇点,则内圆半径可以任意小,同时z 可以无限接近z0,这个时候称为f(z)在它的孤立奇点z0的邻域内 的洛朗级数展开式,这种情况特别重要,以后将利用它研究函 数在孤立奇点附近的性质. (4) 洛朗级数展开式也是唯一的,这点和泰勒级数是一致的,此唯一 性使得可用不同的方法求得环域上解析函数的洛朗展开式 存在,但 仍然不等于 例1: 在z0=0的邻域上把(sinz)/z展开 解: 函数(sinz)/z在原点没有定义,z0=0是奇点 引用sinz在原点的邻域上的展开式: 同时为了避开奇点,从复平面挖去奇点,在挖去奇点的复数平面上 用z遍除sinz的展开式,就得到(sinz)/z的展开式 如果我们定义一个函数f(z)如下: 则f(z)在整个开平面上是解析的,由上我们可得到f(z)在z0=0的 邻域上的展开式: 同时也是解析函数f(z)的泰勒级数! 例2: 解: 在 的环域上将函数f(z)=1/(z2-1)展开为洛朗级数 在展开式中出现无限多负幂次项,但z=0本身不是函数的奇点 奇点为z=士1 例3: 在z0=1的邻域上把f(z)=1/(z2-1)展开为洛朗级数 解: 先把f(z)分解为分项公式 第二项只有一个奇点z=-1,因此可在z0=1的邻域|z-1|2上可以展 为泰勒级数如下: 由此我们可得 展开式里边出现了-1次项 例4: 解: 我们知道ex在原点邻域上的展开式为 把z全换成1/z,可得到以下结果: 即 这里出现无限多负幂项. 在z0=0的邻域上把 展开为洛朗级数 例5: 解: 在z0=0的邻域上把 展开为洛朗级数 由前边的结论我们可得绝对收敛级数 以上两个绝对收敛级数可以逐项相乘,乘积中既有无限多正幂项 又有无限多负幂项,为了得到乘积中某个正幂zm (1) (2) 应取 (2)中所有各项分别用(1)中的l=n+m项去乘,为得到某个负幂项 z-h 应取(1)中所有项而分别用(2)中的n=l+h项去乘, 由此可以得到以下结果: 将-h记为m, l记为n,则有 利用贝塞尔函数可以把上式写成 中括号里边是m阶贝塞尔函数Jm(x) * *