算法设计与分析二章递归与分治策略.ppt

算法设计与分析第二章 递归与分治策略 杨圣洪 2 3 4 7 9 学习要点: 理解递归的概念。 掌握设计有效算法的分治策略。 通过下面的范例学习分治策略设计技巧。 （1）二分有哪些信誉好的足球投注网站技术； （2）大整数乘法； （3）Strassen矩阵乘法； （4）棋盘覆盖； （5）合并排序和快速排序； （6）线性时间选择； （7）最接近点对问题； （8）循环赛日程表。 第2章 递归与分治策略 本章主要知识点： 2.1 递归的概念 2.2 分治法的基本思想 2.3 二分有哪些信誉好的足球投注网站技术 2.4 大整数的乘法 2.5 Strassen矩阵乘法 2.6 棋盘覆盖 2.7 合并排序 2.8 快速排序 2.9 线性时间选择 2.10 最接近点对问题 2.11 循环赛日程表 计划授课时间：6～8课时 2.1 递归的概念 直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。 在计算机算法设计与分析中，使用递归技术往往使函数的定义和算法的描述简洁且易于理解。 下面来看几个实例。 2.1 递归的概念 例1 阶乘函数 可递归地定义为：高?低 其中： n=0时，n!=1为边界条件 n0时，n!=n(n-1)!为递归方程 边界条件与递归方程是递归函数的二个要素，递归函数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出结果。 T=1;for (i=2;in+1;i++) {T=T*i;} 循环低?高 2.1 递归的概念 例2 Fibonacci数列 无穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，被称为Fibonacci数列。递归地定义： 第n个Fibonacci数可递归地计算如下： public static int fibonacci(int n) { if (n = 1) return 1; return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); } pubic static int fibonacciLoop(int n){ f0=1;f1=1; for (i=2;i=n;i++){f2=f0+f1;f0=f1;f1=f2;} return f1;} 2.1 递归的概念 例3 Ackerman函数 当一个函数及它的一个变量是由函数自身定义时，称这个函数是双递归函数。Ackerman函数A(n，m)定义如下： 前2例中的函数都可以找到相应的非递归方式定义。 但本例中的Ackerman函数却无法找到非递归的定义。 2.1 递归的概念 A(n，m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量函数： M=0时，A(n,0)=n+2 M=1时，A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2，和A(1,1)=2故A(n,1)=2*n M=2时，A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2)，和A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2，故A(n,2)= 2n 。 M=3时，类似的可以推出 M=4时，A(n,4)的增长速度非常快，以至于没有适当的数学式子来表示这一函数。 无法找到循环函数-非递归方式 2.1 递归的概念 例4 排列问题 递归算法生成n个元素{r1,r2,…,rn}的全排列。 设R={r1,r2,…,rn}是要进行排列的n个元素，Ri=R-{ri}。去掉元素ri。 集合X中元素的全排列记为perm(X)。 (ri)perm(X)表示在全排列perm(X)的每一个排列前加上前缀得到的排列。 R的全排列可归纳定义如下： 当n=1时，perm(R)=(r)，r是集合R中唯一的元素； 当n1时，perm(R)由(r1)perm(R1)，(r2)perm(R2)，…，(rn)perm(Rn)构成。 2.1 递归的概念 例5 整数划分问题 将正整数n表示成一系列正整数之和： n=n1+n2+…+nk， 其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。降序 正整数n的这种表示称为正整数n的划分。 求正整数n的不同划分个数。 例如正整数6有如下11种不同的划分： 6； 5+1； 4+2，4+1+1； 3+3，3+2+1，3+1+1+1； 2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1； 1+1+1+1+1+1。 2.1 递归的概念 如果设p(n)为正整数n的划分数则难以找到递归关系 换函数q(n,m) ：最大加数n1 ? m 时n的划分个数。 q(n,m)的如下递归关系： q(n,1)=1，n≥1；最大加数 ? 1时，任何正整数n只有一种划分形式：n=1+1+...+1(共n个)。 q(n,m)=q(n,n)，m≥n；最大加数?n q(1,m)=1。 q(n,n)=1+q(n,n-1)；n的划分={最大加数=n的划分}?{最大加数≤