特征值与特征向量考研作业.docVIP

PAGE PAGE 8 特征值与特征向量考研复习 一、特征值和特征向量 1、有关定义： (1) 定义1：设为阶矩阵，是一个数，如果存在非零的维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。 (2)定义2：称矩阵称为的特征矩阵，它的行列式称为的特征多项式，＝0称为的特征方程，其根为矩阵的特征值。 2、特征值、特征向量的求法：设是阶矩阵，则是的特征值，是的属于的特征向量的充分必要条件是是＝0的根，是齐次线性方程组的非零解。 3、特征值、特征向量的基本性质 (1) 如果是的属于特征值的特征向量，则一定是非零向量，且对于任意非零常数，也是的属于特征值的特征向量。 (2)如果是的属于特征值的特征向量,则当时，也是的属于特征值的特征向量。 (3) 阶矩阵与它的转置矩阵有相同的特征值。 (4) (5) (6) 设是的特征值，且是属于的特征向量，则 (a) 是的特征值，； (b) 若可逆，则且是的特征值，＝。 上述结果在某种意义上可以说：的特征值是，其中是的特征值。 (7) 设为n阶矩阵A的不同特征值。分别是属于的特征向量，则线性无关。 4、典型例题 例1 (四/93) 设2是可逆矩阵的一个特征值，则有一特征值为( )。 A、 B、 C、 D、 解：，选B 练习：1、(一/98)设是阶矩阵的一个特征值，则必有特征值。 解：因为，所以的特征值为， 从而是的一个特征值。 2、(三/08)设三阶矩阵的特征值分别为，则。 解：的三个特征值为，所以 3、 (四/96) 设有四阶方阵满足：，，。求的一个特征值。 解：由知：是的一个特征值 由，知： 所以的一个特征值为 例2 (一/95)设是阶矩阵，满足，，求。 解：法一：由，知： 而，所以 法二：设是的任意一个特征值，是对应的特征向量，则 由得， ，即的特征值是1或， 而，所以的特征值至少有一个是，因此 同类型：(四/90) 设方阵A满足，试证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1。 例3 (一、二/08)设为二阶矩阵，是二个线性无关的列向量，，则的非零特征值为。 解：由于，所以的一个非零特征值为1。 例4 (三/02) 设为阶实对称矩阵，是可逆矩阵。已知是的属于特征值的特征向量，则属于特征值的特征向量是( )。 A、 B、 C、 D、 解： ，因此，得选 B 例5 (四/08) 设三阶矩阵的特征值互不相同，且，则。 解：由知：至少有一个特征值为0 又的特征值互不相同，所以只有一个特征值为0。 因此 例6 (一、二、三/05) 设是矩阵的二个不同特征值，对应的特征向量分别为，则 线性无关的充要条件是( )。 A、 B、 C、 D、 解： 线性无关的充要条件是只有零解 由线性无关得： 只有零解的充要条件是选B 例7 (三/90) 设为阶矩阵，是的二个不同特征值，分别是属于的特征向量，试证明不是的特征向量。 证明：若是的特征向量，则存在一个数，使得： 又 所以 即，又线性无关，所以 与是的二个不同特征值矛盾，所以不是的特征向量。 例8 (三/04) 设阶矩阵，(1)求的特征值和特征向量；(2)求可逆阵，使得为对角矩阵。 解：(1) 所以 1) 若，则个特征值均为1，此时，所以 是个线性无关的特征向量 2) 若，则当时， 所以是个线性无关的特征向量 当时， 得是它的一个基础解系。 (2) 当时，，且 当时，，且 例9 (三、四/98) 设都是非零维向量，且满足条件。记。求：(1)；(2)的特征值和特征向量。 解：(1) (2) 设是的任意一个特征值，是对应的特征向量，则 所以，又，所以， 即的个特征值均为0。 由于都是非零向量，所以不妨设。 当时 所以基础解系为：。 从而对应的所有特征向量为： ，其中不全为零。 √例10 (四/03) 设可逆，是的一个特征向量，是对应的特征值，求的值。 解：由是的属于的一个特征向量，且可逆知：，且 即，从而 代入得：得：或。 √练习：(一、三/99) 设矩阵，且。又设A的伴随矩阵有特征值，属于的特征向量为，求的值。 解：由得：，解得： 又，所以。 √例11 (一/92) 设三阶矩阵A的特征值为1,2,3，对应的特征向量分别为： ，又 (1)将用线性表示；(2)求(为自然数)。 解：(1)解 则 得： (2) (也可以用相似矩阵先求，再求做，但是比较麻烦) √例12 (二、三、四/08) 设为三阶矩阵，是的分别属于的特征向量，向量满足，(1)证明线性无关；(2)令，求。 解：(1) 设 (1) 所以 代入得： (2) (1)(2