玉林师范学院应用物理学本科量子力学期中考试试卷参考附标准答案.docVIP

PAGE / NUMPAGES 考 试 时 间2009年4 考 试 时 间 2009年4月 日 （ ）午 系(院): 年级: 专业: 班别: 学号: 姓名: 座位号: —————————————————————————————————————————————————————— 密 封 线 内 不 要 答 题 ∞ 装 订∞ 线 ∞ （2008——2009学年度第2学期） 参考答案 命题教师：骆斌 命题教师所在系：物理与信息科学系 试卷类型： 课程名称：量子力学 考试专业：应用物理学本科 考试年级：2006 题 号 一 二 三 四 五 六 总 分 应得分 9 9 20 14 48 满分：100 实得分 评分： 评卷人 签 名 得 分 评卷人 一、解释名词（每小题3分，总计9分。请用文字或公式进行说明） 1、态叠加原理 答：如果和是体系的可能状态，那末，它们的线性叠加也是体系的一个可能状态。 2、表象 答：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象 3、德布罗意公式（或德布罗意关系） 答： 得 分 评卷人 二、单项选择题（每题3分，总计9分。请将你认为正确的答案的序号填入该题后的括号内） 1、氢原子中仅考虑为库仑相互作用，则能级的简并度为 A、4 B、8 C、16 D、32 答：（ C ） 2、两力学量算符和满足，则大于或等于 A、 B、 C、 D、 答：（ B ） 3、设有体系处于状态，其中为归一化的球谐函数，为归一化的波函数，为待定常数，则该体系角动量在的平均值是 A、 B、 C、 D、 答：（ D ） 得 分 评卷人 填空题（每题2分，总计20分） 如两力学量算符和具有共同本征函数，则0。 2、算符在其自身的表象是一个对角矩阵。 3、守恒量是体系的一种特殊的力学量，即不显含时间又与对易的力学量。 4、若是么正矩阵，则。 5、一般来说，把无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态，体系能量最低的态称为基态。 6、氢原子的波函数为，量子数的取值范围分别是1,2,3,…、0,1,2,…、。 7、的狄拉克符号表示式。 8、设为氢原子的能量本征函数，则 ， 。 9、线性谐振子的为实数，则其能级。 10、设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为 粒子动量分布在的几率 。 得 分 评卷人 四、证明题（11分） 若，，证明：。 证明：由于 所以两边去掉得 得 分 评卷人 五、计算题（每小题16分，合计48分） 1、一维运动的电子被约束在一维上半空间（）运动，其势能为 为电子的电荷。若基态波函数为 其中为待定的常数，为归一化常数。求、基态能量和在基态的平均值。 解：设基态能量为，则满足一维定态薛定谔方程： 代入势能和波函数得 化简，可得 从上式可得： ， 由归一化：可求得 则在基态的平均值为 2、已知体系的哈密顿量?, 试求出体系能量本征值及的正交归一化的本征矢。 解：设本征值为、本征矢为，则由定态薛定谔方程得： 即 要求 解之得本征值为 当时，代入本征值方程，得 即 ，归一化得对应的本征矢为 同理可得 对应的本征矢为 。 3、一刚性转子转动惯量为，它的能量的经典表示式是，为角动量。已知转子绕一固定点转动，求与此对应的量子体系的定态能量与波函数。 解：取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为 无关，属定态问题，其本征方程为 (式中设为的本征函数，为其本征值) 令，则有 此即为角动量的本征方程，其本征值为 其波函数为球谐函数 ∴ 转子的定态能量为 能量是分立的，且是重简并的。