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现代控制理论第四章习题答案
4-1判断下列二次型函数地符号性质：
（1）
（2）
解：（1）由已知得
,,
因此是负定地
（2）由已知得
,,
因此不是正定地
4-2已知二阶系统地状态方程：
试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定地条件.
解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定,则要求满足A地特征值均具有负实部.
即：
有解,且解具有负实部.
即：
方法（2）：系统地原点平衡状态为大范围渐近稳定,等价于.
取,令,则带入,得到
若 ,则此方程组有唯一解.即
其中
要求正定,则要求
因此,且
4-3试用lyapunov第二法确定下列系统原点地稳定性.
（1）
（2）
解：（1）系统唯一地平衡状态是.选取Lyapunov函数为,则
是负定地.,有.即系统在原点处大范围渐近稳定.
（2）系统唯一地平衡状态是.选取Lyapunov函数为,则
是负定地.,有.即系统在原点处大范围渐近稳定.
4-6设非线性系统状态方程为：
试确定平衡状态地稳定性.
解：若采用克拉索夫斯基法,则依题意有：
取
很明显,地符号无法确定,故改用李雅普诺夫第二法.选取Lyapunov函数为,则
是负定地.,有.即系统在原点处大范围渐近稳定.
4-9设非线性方程：
试用克拉索夫斯基法确定系统原点地稳定性.
解：（1）采用克拉索夫斯基法,依题意有：
,有.
取
则,根据希尔维斯特判据,有：
,地符号无法判断.
（2）李雅普诺夫方法：选取Lyapunov函数为,则
是负定地.,有.即系统在原点处大范围渐近稳定.
4-12试用变量梯度法构造下列系统地李雅普诺夫函数
解：假设地梯度为：
计算地导数为：
选择参数,试选,于是得：
,显然满足旋度方程,表明上述选择地参数是允许地.则有：
如果,则是负定地,因此,是地约束条件.
计算得到为：
是正定地,因此在范围内,是渐进稳定地.
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