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用排除法简解2015年高考全国卷I理科第12题
高考题 (2015年高考全国卷I理科第12题)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是( )
A. B.C. D.
解法1 (数形结合法)D.令g(x)=ex(2x-1),得g′(x)=ex(2x+1).
由g′(x)0得x-eq \f(1,2),由g′(x)0得x-eq \f(1,2),所以函数g(x)在上分别是减函数、增函数.
又函数g(x)在xeq \f(1,2)时g(x)0,在xeq \f(1,2)时g(x)0,所以其大致图象如图1所示.
图1
直线y=ax-a过点(1,0).
若a≤0,则f(x)0的整数解有无穷多个,因此只能a0.
结合函数图象可知,存在唯一的整数x0,使得f(x0)0,即存在唯一的整数x0,使得点(x0,ax0-a)在点(x0,g(x0))的上方,得x0只能是0,所以实数a应满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(-1)≥0,,f(0)0,,f(1)≥0,))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-3e-1+2a≥0,,-1+a0,,e≥0,))解得eq \f(3,2e)≤a1.
即实数a的取值范围是.
解法2 (分离常数法)D.令后,得题设即关于t的不等式有唯一的整数解.
若,由a1,可得
所以题设即关于t的不等式即有唯一的整数解,也即关于t的不等式有唯一的整数解.
设,得,所以函数在上是增函数,得最大值为.
又,由此可作出函数的图象如图2所示:
图2
注意到图象过点且,所以由图2可得:
当时,满足的整数t有,所以此时不满足题意.
当时,满足的整数t只有,所以此时满足题意.
得所求a的取值范围是.
解法3 (排除法)D.当时,不等式f(x)0即ex(2x-1)0也即,它有无数个整数解,不满足题设.由此可排除选项A,B.
令g(x)=ex(2x-1),得g′(x)=ex(2x+1).
由g′(x)0得x-eq \f(1,2),由g′(x)0得x-eq \f(1,2),所以函数g(x)在上分别是减函数、增函数.
又g′(0)=1,所以可得曲线在点处的切线为,如图3所示.
图3
所以当a1且时满足题设(此时满足题设的唯一整数x0=0).由此可排除选项C.
所以选D.
注 小题不大做,还是解法3(排除法)简洁.本题对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.
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