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1997年全国高中数学联赛 冯惠愚 PAGE - PAGE 1 - 1997年全国高中数学联合竞赛试卷 第一试 (10月5日上午8:00?10:00) 一、选择题(每小题6分，共36分) 1．已知数列{xn}满足xn+1=xn－xn－1(n≥2)，x1=a， x2=b， 记Sn=x1+x2+?+xn，则下列结论正确的是(A)x100??a，S100=2b?a (B)x100??b，S100?2b?a(C)x100??b，S100=b?a (D)x100??a，S100?b?a 2．如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得eq \f(AE,EB)=eq \f(CF,FD)=λ(0λ+∞)，记f(λ)=αλ+βλ其中αλ表示EF与AC所成的角，βλ表示EF与BD所成的角，则 (A)f(λ)在(0，+∞)单调增加 (B)f(λ)在(0，+∞)单调减少 (C)f(λ) 在(0，1)单调增加，而在(1，+∞单调减少 (D)f(λ)在(0，+∞)为常数 3．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个 4．在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x－2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为(A)(0，1) (B)(1，+∞) (C)(0，5) (D)(5，+∞) 5．设f(x)=x2－πx，??arcsineq \f(1,3)，β=arctaneq \f(5,4)，γ=arcos(－eq \f(1,3))，?=arccot(－eq \f(5,4))，则(A)f(α)f(β)f(?)f(γ)(B)f(α) f(?)f(β)f(γ) (C)f(?)f(α)f(β)f(γ)(D)f(?)f(α)f(γ)f(β) 6．如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有(A)0条 (B)1条 (C)多于1 的有限条 (D) 无穷多条 二．填空题(每小题9分，共54分) 1．设x，y为实数，且满足eq \b\lc\{(\a\ac((x－1)3+1997(x－1)=－1，,(y－1)3+1997(y－1)=1． ))则x+y?. 2．过双曲线x2－eq \f(y2,2)=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数λ使得|AB| ?λ的直线l恰有3条，则λ=. 3．已知复数z满足eq \b\bc\|(2z+\f(1,z))=1，则z的幅角主值范围是． 4．已知三棱锥S?ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为． 5．设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种． 6．设a?logz+log[x(yz)?1+1]，b?logx?1+log(xyz+1)，c?logy+log[(xyz)?1+1]，记a，b，c中最大数为M，则M的最小值为． 三、（本题满分20分） 设x≥y≥z≥eq \f(π,12)，且x+y+z?eq \f(π,2)，求乘积cosx siny cosz的最大值和最小值． 四、(本题满分20分) 设双曲线xy?1的两支为C1，C2(如图)，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上． (1)求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上； (2)设P(?1，?1)在C2上， Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标． 五、(本题满分20分) 设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足 eq \b\lc\{(\a\ac(\f(a2,a1)=\f(a3,a2)=\f(a4,a3)=\f(a5,a4)， ,a1+a2+a3+a4+a5=4(\f(1,a1)+\f(1,a2)+\f(1,a3)+\f(1,a4)+\f(1,a5))=S．)) 其中S为实数且|S|≤2．求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上． 第二试 (10月5日上午10:30?12:30) 一、（本题50分）如图，已知两个半径不相等的⊙O1与⊙O2相交于M、N两点，且⊙O1、⊙O2分别与⊙O内切于S、T两点.求证：OM⊥MN的充分必要条件是S、N、T三点共线. 二、（本题