由一道课本作业引发的探究.docVIP

第 PAGE 9 页 共 NUMPAGES 9 页 由一道课本习题引发的探究 吴健 （江苏省锡山高级中学 214174） 数学课堂如何实施有效教学，是我们每位数学教师都要思考的问题．笔者认为进行有效教学的要素之一就是要充分合理地使用好教材．教材是教学的核心内容，这不仅体现在概念、定理的教学上，也应体现在例、习题的教学上，这是由于课本中的每一道题都是经过编写者千挑万选的，能够入他们“法眼”的一般都具有极强的代表性，许多问题还具有深刻的数学背景．因此作为教学者，我们对课本中的例、习题不能就题论题，如蜻蜓点水般的应付了事，而应该引导学生不失时机地思考和探究，去开发习题后面的数学宝藏，提升学生的思维水平和创新能力，笔者所任教的班级是重点中学的高中实验班，每节课学生学习的期望值都很高，这就促使笔者去挖深、挖透教材，以便以点带面，层层推进，高效率地完成课堂教学． 下面是本人习题教学的一个案例，供大家参考． 1 问题 （苏教版普通高中课程标准实验教科书选修2—1数学P49习题2.4第8题）已知直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点，求证：． 解析 由即， 设，，则，， 所以 ， 所以，结论成立． 2改变问题的条件 变题1已知直线与抛物线相交于、两点，为坐标原点，求证：． 此题的解答同上，可由学生自已完成． 说明 教师可将问题一般化：如果直线（）与抛物线相交于、两点，为坐标原点，则． 变题2已知直线（）与抛物线相交于、两点，为坐标原点，问是否为定值？ 解析 由，即， 设，，则，， 所以 ． 即为定值． 说明 直线过定点时，为定值． 变题3已知直线（）与抛物线交于、两点，关于轴对称点为，为抛物线焦点，试证明：、、三点共线． ABFO A B F O y x 即， 设，，， 则① 要证、、共线，只要证，由于， 所以，，只要证， 即证，即证， 即证，由①获证． 点评 本题也可以改为证明直线过定点，此定点即为焦点，注意到点是抛物线准线与对称轴的交点，本题揭示了抛物线的一个十分优美的性质． 3研究问题的逆命题 变题4抛物线上两点、，满足（为坐标原点），证明：直线恒过一定点． 恒边定点，证明略． 变题5抛物线上两点、，满足（为坐标原点），于，求点的轨迹方程． 由上题结论可知在以为直径的圆上，点的轨迹方程为． 变题6抛物线上两点、满足，其中为原点，、分别在轴两侧，问直线是否恒过一定点． 解析 设，，由题， 所以，即， 所以，由题，所以． 直线：，即， 即，即，也即， 因此直线恒过定点（3，0）． 4对问题作类比探究 变题7在直角坐标系中，点到F1、F2的距离之和是4，点的轨迹与轴的负半轴交于点，不过点的直线：与轨迹交于不同的两点和． （1）求轨迹的方程； （2）当时，求与的关系，并证明直线过定点． 解析（1）∵点到，的距离之和是4， ∴M的轨迹是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆， 其方程为 ． （2）将，代入曲线的方程， 整理得，因为直线与曲线交于不同的两点和， 所以． ① 设，则 ， ．　　 ② 且 ． ③ 显然，曲线与轴的负半轴交于点， 所以，， 由，得． 将②、③代入上式，整理得，所以，即或．经检验，都符合条件①． 当时，直线的方程为． 显然，此时直线经过定点点．即直线经过点，与题意不符． 当时，直线的方程为．显然，此时直线经过定点点，且不过点． 综上，与的关系是：，且直线经过定点点． 点评 変题7是変题4在椭圆中的类比，反之若直线为与椭圆交于不同的两点和，则． 変题8已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点（1,0）的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围． 解析（Ⅰ）由题意知， 所以． 即． 又因为， 所以，． 故椭圆的方程为． （Ⅱ）当过点直线的斜率存在时，设直线的方程为，且 ，在椭圆上． 由 得． 易知． 所以，，． 则． 因为，所以． 所以． 当过点直线的斜率不存在时，其方程为． 解得，． 此时． 所以的取值范围是． 变题9在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点为、，为其右准线，为上一点，、分别与椭圆交于点，，证明：直线恒过轴上一定点. 解析 由已知，，：，则， ：， ： 由， 由于，又因为，所以， 而 由， 所以，又因为，所以， 所以， 若，则，所以，此时， 过定点. 若，则可证，所以、、三点共线， 即过右焦点. 说明 本题可以看作变题3在椭圆中的类比，其要求较高，此题反映了椭圆的一个优美性质，当为椭圆右准线上动点时，恰过椭圆右焦点. 变题10在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点为、，设过点的直线、与此椭圆分别交于点、，其中，，，求证：直线必过轴上的一定点. 此题的解法同上题，可以证明