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导数基本题型分析及解题方法
1、基本初等函数的求导公式:
(α为常数)
注:当a=e时,
2.函数的和差积商的导数求导法则:
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即
法则2常数与函数的积的导数,等于常数与函数的积的导数,即
法则3 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即
法则4
3、复合函数的求导法则:
即复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘中间变量对自变量的导数。即:。问题的求导可直接得:
(1)、 (2)、 (3) (4)、
导数专题复习一 导数在研究函数的恒成立问题中的应用
1、设函数若对于任意都有成立, 求实数的取值范围.
2、已知函数 (a∈R),若函数f (x)在R上单调, 求a的值;
3、已知函数对任意恒成立,试求m的取值范围。
4、已知函数,函数在上是减函数,求的取值范围.
变式:如果把上述条件中区间改为,的取值范围呢?
5、已知函数若,函数图象上的任意一点的切线斜率为,求恒成立时a的取值范围.
(2)已知函数若,函数图象上的任意一点的切线斜率为,求恒成立时a的取值范围.
6、已知函数,,其中.
(1)若函数在上的图像恒在的上方,求实数的取值范围.
(2)若对任意的(为自然对数的底数)都有≥成立,
求实数的取值范围.
200905057、已知e是自然数的底数,常数a、b都是实数,函数的图象与直线相切,切点为A,且点A的横坐标等于1。(1)求a、b的值; (2)当x4时,证明不等式
导数复习二 导数在研究函数零点中的应用
例题方程的实数的个数?
变式一、(引入参数)讨论函数零点的个数?
变式二、(方程问题)若方程上有实数解,求a的取值范围.
变式三、(改变参数的位置)若方程上有实数解,求a的取值范围.
练习
1、零点的个数是________
2、方程在区间内的实数个数是___________
3、设函数(为常数),且在上单调递减。
(1)求实数的取值范围;(2)当取得最大值时,关于的方程有3个不同的根,求实数的取值范围。
4、已知函数图象上一点处的切线方程.
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若方程在内有两个不等实根,求的取值范围(其中为自然对数的底数);
复习三 函数与导数的综合题
1、
2、已知函数
(1)当时,若函数的定义域是R,求实数的取值范围;
(2)试判断当时,函数在内是否存在零点.
3、设函数. (Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,是否存在整数,使不等式恒成立?若存在,求整数的值;若不存在,请说明理由。
(Ⅲ)关于的方程在上恰有两个相异实根,求实数的取值范围。
5、已知函数
(I)当时,不等式恒成立,求实数a的取值范围;
(II)设,当且时,时求函数的单调区间和级值。
6、已知x=0是函数的一个极值点,且函数的图象在处的切线的斜率为2.
(Ⅰ)求函数的解析式并求单调区间.
(Ⅱ)设,其中,问:对于任意的,方程在区间上是否存在实数根?若存在,请确定实数根的个数.若不存在,请说明理由.
二、热点题型分析
题型一:利用导数研究函数的极值、最值。
1.在区间上的最大值是____________
2.已知函数处有极大值,则常数c=____________ ;
3.函数有极小值 -1 ,极大值____________
题型二:利用导数几何意义求切线方程
1.曲线在点处的切线方程是____________
2.若曲线在P点处的切线平行于直线,则P点的坐标为____________
3.若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为____________
4.求下列直线的方程:
(1)曲线在P(-1,1)处的切线; (2)曲线过点P(3,5)的切线;
题型三:利用导数研究函数的单调性,极值、最值
1.已知函数的切线方程为y=3x+1
(Ⅰ)若函数处有极值,求的表达式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数在[-3,1]上的最大值;
(Ⅲ)若函数在区间[-2,1]上单调递增,求实数b的取值范围
2.设函数.
(1)若的图象与直线相切,切点横坐标为2,且在处取极值,求实数 的值;
(2)当b=1时,试证明:不论a取何实数,函数总有两个不同的极值点.
题型四:利用导数研究函数的图象
1.如右图:是f(x)的导函数, 的图象如右图所示,则f(x)的图象只可能是( )
(A) (B) (C) (D)
2.函数( )
x
x
y
o
4
-4
2
4
-4
2
-2
-2
x
y
o
4
-4
2
4
-4
2
-2
-2
x
y
y
4
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