全国硕士研究报告生入学统一测验考试.docVIP

“文档中国”搜集整理[www.WenD] 2004年全国硕士研究生入学统一考试数学 （一）试卷答案和评分参考 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填写在题中横线上.） （1）曲线上与直线垂直的切线方程为 y = x―1 . （2）已知，且，则. （3）设为正向圆周在第一象限的部分，则曲线积分的值为. （4）欧拉方程的通解为 . （5）设矩阵，矩阵满足，其中为的伴随矩阵，是单位矩阵，则. （6）设随机变量服从参数为的指数分布，则. 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后面的括号内.） （7）把的无穷小量排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 （A）. （B）. （C）. （D）. 【B 】 （8）设函数连续，且，则存在，使得 （A）在内单调增加. （B）在内单调减小. （C）对任意的有. （D）对任意的有. 【C】 （9）设为正项级数,下列结论中正确的是 （A）若,则级数收敛. （B）若存在非零常数,使得,则级数发散. （C）若级数收敛,则. （D）若级数发散,则存在非零常数,使得. 【B】 （10）设为连续函数,,则等于 （A）. （B）. （C）. （D）. 【B】 （11）设是阶方阵,将的第列与第列交换得,再把的第列加到第列得,则满足的可逆矩阵为 （A）.（B）.（C）.（D）. 【D】 （12）设为满足的任意两个非零矩阵,则必有 （A）的列向量组线性相关,的行向量线性相关. （B）的列向量组线性相关,的列向量线性相关. （C）的行向量组线性相关,的行向量线性相关. （D）的行向量组线性相关,的列向量线性相关. 【A】 （13）设随机变量服从正态分布,对给定的,数满足.若,则等于 （A）. （B）. （C）. （D）. 【C】 （14）设随机变量独立分布,且其方差为.令,则 （A）. （B）. （C）. （D）. 【A】 三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(15)(本题满分12分) 设,证明. 证法1设，则 ， ， ……5分 所以当时，，故单调减少，从而当时， ， ……9分 即当时，单调增加. 因此当时， . 即 ， 故 . ……12分 证法2对函数在上应用拉格朗日中值定理，得 ……3分 设，则, 当时，，所以单调减少. ……9分 从而，即 ， 故 . ……12分 (16)(本题满分11分) 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为）.问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？ 注：kg表示千克，km/h表示千米/小时. 解 由题设，飞机的质量kg，着陆时的水平速度=700km/h.从飞机接触跑道开始计时，设时刻飞机的滑行距离为，速度为. 法1 根据牛顿第二定律，得 . ……4分 又 ， 由以上二式得 ， ……7分 积分得.由于，，故得，从而 . 当时， （km） ……11分 所以，飞机滑行的最长距离为1.05km. 法2 根据牛顿第二定律，得……4分 所以 . 两端积分得通解，代入初始条件解得， 故 . ……7分 飞机滑行的最长距离为 （km）. ……11分 法3 根据牛顿第二定律，得 ，