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多元线性回归的参数估计方法
吴仕勋，赵东方，金秀云
华中师范大学数学与统计学学院, 湖北武汉 (430079)
E-mail: wushixun333@163.com
摘 要：本文依据高斯—马尔可夫定理，通过对最小二乘估计方法得出的参数估计值的分析，
从另外两个角度出发得出了参数估计的值与最小二乘估计的值是相同的。
关键词：最小二乘法；参数估计；线性
中图分类号：f224.0
1．前言
多元线性回归的参数估计方法有很多种，对于线性的来说当然是最小二乘法得出的
参数估计是最好的，它是最优线性无偏估计量(BLUE) 。事实上最小二乘法是根据残差
平方和最小化准则获得的。
2 ． 高斯－马尔可夫定理
假设样本数据以如下形式给出，
⎛x11 x12 x1k ⎞
⎛ ⎞
y 1 x
⎛ ⎞ 1 ⎜ ⎟
Y ⎜ ⎟ X ⎜ ⎟ ⎜x21 x22 x2k ⎟
n×1 ⎜ ⎟ n×k ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
y n xn ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x x x
⎝ n1 n 2 nk ⎠
假设有如下的一个简单的线性关系，变量y 是 k 个变量(x , x , , x ) 和不可观察随机扰
i i1 i 2 ik
动项u 的线性函数，y βx =+β x ++β x +u ,i 1, 2, ,n
i i 1 i1 2 i 2 k ik i
用矩阵形式Y Xβ=+u （1），其中β (β , , β ) 是k ×1维常量
1 k
回归的目的是利用观察到的y 和X 对（1）中的未知参数进行推断，包括回归系数β 。为了
使回归得以进行，必须对数据生成过程进行若干假定。除了对模型（1）的线性假设之外，
还有如下假定：
1.1 Ε(u | X ) 0
2
1.2 Ε(uu | X ) σ =Ι ，其中Ι 为n ×n 单位矩阵。
n×n n×n
1.3 rank ( X ) k
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