全国高考试题分类考点导数在研究报告函数中应用与生活中优化问题举例.docVIP

PAGE 27 - 考点10导数在研究函数中的应用 与生活中的优化问题举例 一、选择题 1．（2011·安徽高考文科·Ｔ10）函数在区间上的图象如图所示，则n可能是（　） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【思路点拨】 代入验证，并求导得极值，结合图象确定答案. 【精讲精析】选A. 代入验证,当n=1时，，则 ，由=0可知，，结合图象可知函数应在（0，）递增，在递减，即在处取得极大值，由 知存在. 2.（2011·辽宁高考理科·Ｔ11）函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，，则 f（x）＞2x+4的解集为（　） （A）（-1，1） （B）（-1，+） （C）（-，-1） （D）（-，+） 【思路点拨】先构造函数，求其导数，将问题转化为求单调性问题即可求解． 【精讲精析】选B.构造函数，则，又因为，所以，可知在R上是增函数，所以可化为，即，利用单调性可知，．选B. 3．（2011·安徽高考理科·Ｔ10）函数在区间上的图象如图所示，则的值可能是（　） （A）(B) (C) (D) 【思路点拨】本题考查函数与导数的综合应用，先求出的导数，然后根据函数图像确定极值点的位置，从而判断m,n的取值. 【精讲精析】选B.函数的导数 则在上大于0，在上小于0，由图象可知极大值点为，结合选项可得m=1,n=2. 二、填空题 4.（2011·广东高考理科·Ｔ12）函数在处取得极小值. 【思路点拨】先求导函数的零点，然后通过导数的正负分析函数的增减情况，从而得出取得极值时x的值. 【精讲精析】 由解得或，列表如下： 0 2 + 0 - 0 + 增 极大值 减 极小值 增 当时，取得极小值. 【答案】2 5．（2011·辽宁高考文科·Ｔ16）已知函数有零点，则的取值范围是 【思路点拨】先求，判断的单调性．结合图象找条件．本题只要使的最小值不大于零即可． 【精讲精析】=．由得， ∴．由得，． ∴在处取得最小值． 只要即可．∴， ∴． 【答案】 6.（2011·江苏高考·Ｔ12）在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_________ 【思路点拨】本题考查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题，解题的关键是表示出中点的纵坐标t的表达式，然后考虑单调性求解最值. 【精讲精析】 设则，过点P作的垂线 ， ，所以，t在上单调递增，在上单调递减，. 【答案】 三、解答题 7．（2011·安徽高考理科·Ｔ16）设，其中为正实数 （1）当时，求的极值点； （2）若为上的单调函数，求的取值范围. 【思路点拨】（1）直接利用导数公式求导，求极值. （2）求导之后转化为恒成立问题. 【精讲精析】对求导得， （1）当令，则.解得， 列表得 x + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以，是极小值点，是极大值点. （2）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合与条件a0,知在R上恒成立，因此并结合a0,知. 8.（2011·福建卷理科·Ｔ18）(本小题满分13分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. （1）求a的值. （2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【思路点拨】(1)根据“销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克”可知销售函数过点（5,11）,将其代入可求得的值. （2）利润为=(每千克产品的售价-每千克产品的成本)销售量,表示出函数解析式后，可借助导数求最值. 【精讲精析】 （1）因为时，，所以所以. （2）由（1）可知，该商品每日的销售量 所以商场每日销售该商品所获得的利润 从而 于是，当变化时，的变化情况如下表， 4 0 单调递增 极大值42 单调递减 由上表可得，是函数在区间内的极大值点，也是最大值点. 所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于42. 答：当销售价格为元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 9.（2011·福建卷文科·Ｔ22）已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f(e)=2（e=2.71828…是自然对数的底数）. （1）求实数b的值. （2）求函数f（x）的单调区间. （3）当a=1时，是否同时存在实数m和M（mM），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由.