杨辉三角的研究课9090443.pptVIP

杨辉三角的研究课 * * 复习 1、什么是杨辉三角 ？ 二项式（a+b）n展开式的 二项式系数，当n依次取1， 2，3．．．时，列出的一 张表，叫做二项式系数表， 因它形如三角形，南宋的 杨辉对其有过深入研究， 所以我们又称它为杨辉三 角． 2、杨辉三角蕴含的二项式性质 （1）表中每个数都是组合数，第n行的第r+1个数是． （2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是 （3）杨辉三角具有对称性、等距性（对称美），即 （4）第n行的和，即 （5）偶数项的二项式系数和=奇数项的二项式系数和= （6）若n为偶数，则中间项的二项式系数最大;若n为奇数，则中间项两项的二项式系数最大。 3、介绍杨辉——古代数学家的杰出代表 杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。　　“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪． 在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 4．观察杨辉三角所蕴含的数量关系，及有趣的数字排列规律 （1）　计算杨辉三角中各行数字的和，看有何规律： 第0行 1=1 第1行　　1＋1＝2 　　第2行　　1＋2＋1＝4＝22 　　第3行　　1＋3＋3＋1＝8＝23 　　第4行　　1＋4＋6＋4＋1＝16＝24 　　第5行　　1＋5＋10＋10＋5＋1＝32＝25 　　　　　　　．．． 　　第n行　　 问题 前n项（含第0行）所有数的和与第n行所有数的和有何关系？ 结论: (1)第n行数字的和为2 n． (2) 前n行(含第0行)所有数的和为2 n –1，它恰好比第n行的和2 n小1． （2）斜看杨辉三角中各数的和，又有何规律？ 第P列斜线上的前Q个数之和等于第(P+1)列斜线上的第Q个数。 （3）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？ 1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．． 此数列{an}满足, a1=1,a2=1, 且an=an-1+an-2 (n≥3) 　　　这就是著名的斐波那契数列． 介绍斐波那契“兔子繁殖问题”增强趣味性 中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？ 兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．